ポアソン過程に従属するマルコフ連鎖のステップ

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0xbadf00d 2018-12-05 08:00.

しましょう

  • $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ 確率空間である
  • $\left(Y^{(n)}_k\right)_{k\in\mathbb N_0}$ 時間的に均質なマルコフ連鎖である $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$
  • $D([0,1]):=\left\{f:[0,1]\to\mathbb R\mid f\text{ is càdlàg and left-continuous at }1\right\}$
  • $X^{(n)}$ である $D([0,1])$-の値の確率変数 $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$$$X^{(n)}_t=Y^{(n)}_{\lfloor nt\rfloor}\;\;\;\text{for all }t\in[0,1)$$
  • $(N_t)_{t\ge0}$ ポアソン過程になる $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ 強さで $1$ 独立 $Y^{(n)}$ すべてのために $n\in\mathbb N$ そして $$Z^{(n)}_t:=\begin{cases}Y^{(n)}_{N_{nt}}&\text{for }t\in[0,1)\\ Z^{(n)}_{1-}\end{cases}$$

私はそれを最初に読んだ $(n-1)\wedge N_{n-}$ のステップ $X^{(n)}$ そして $Z^{(n)}$ 一致しますが、異なる時間に表示されます($\frac kn$$k$のジャンプ時間 $\left(N_{nt}\right)_{t\ge0}$)。正確には何を意味し、どうすればそれを厳密に証明できますか?

私は何を意味するのか漠然とした直感を持っています:それを仮定すると $N$ は右連続です(実際には、常に右連続の変更を見つけることができます)、 $N$ ほぼ確実に減少せず、ほぼ確実にサイズがジャンプします $1$。そう、$t\mapsto N_{nt}$ どういうわけか $t\mapsto\lfloor nt\rfloor$、しかし、時間スケールは引き伸ばされます。どうすればこれを厳密に定式化できますか?

私を最も混乱させているのは、最初のものだけが書かれ​​ているということです $(n-1)\wedge N_{n-}$ステップは一致します。どこにありますか$N_{n-}=\lim_{t\to n-}N_t$から来る?最初にすべきではない$n-1$ ステップは一致しますか?

1 answers

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0xbadf00d 2018-12-08 10:17.

それは簡単にわかります $$X^{(n)}_{[0,\:1)}=\left\{Y^{(n)}_0,\ldots,Y^{(n)}_{n-1}\right\}$$ そして $$Z^{(n)}_{[0,\:1)}=\left\{Y^{(n)}_0,\ldots,Y^{(n)}_{N_{n-}}\right\}$$ すべてのために $n\in\mathbb N$。これらのプロセスを一致させるために、ランダムな時間変更を適用できます$$\lambda^{(n)}_t:=\sum_{k=0}^\infty 1_{\left[\frac kn,\:\frac{k+1}n\right)}(t)\left(\tau^{(n)}_k+(nt-k)\left(\tau^{(n)}_{k+1}-\tau^{(n)}_k\right)\right)\;\;\;\text{for }t\ge0$$$\tau_0:=0$$$\tau_k:=\inf\left\{t>\tau_{k-1}:\Delta N_t=1\right\}\;\;\;\text{for }k\in\mathbb N$$ そして $$\tau^{(n)}_k:=\frac{\tau_k}n\;\;\;\text{for }k\in\mathbb N$$ にとって $n\in\mathbb N$

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