巨大可算順序数のコンウェイ表記

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user820789 2018-11-20 19:37.

私はこれまでオンラインでOnを深く掘り下げるものを見たことがありません:

コンウェイの表記法では、Onは序数を示します(Noはすべての超現実数のセットを示します)。基本的に、Onの要素はフォンノイマンの序数です。-出典

巨大可算順序数(およびそれらを生成する関数)をコンウェイ表記法で記述しようとする次の試みについてのフィードバックをいただければ幸いです(これらの構文を作成する際の私の主な情報源は巨大可算順序数でした)。

イプシロン-ノート $$\varepsilon_{0}=\{\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},...|\}$$ Feferman-Schutte Ordinal $$\Gamma_0=\phi_{1,0}(0)=\{\phi_0(0),\phi_{\phi_0(0)}(0),\phi_{\phi_{\phi_0(0)}(0)}(0),...|\}$$ 小さなヴェブレンオーディナル $$SVO=\{\phi_1(0), \phi_{1,0}(0), \phi_{1,0,0}(0),...|\}$$ バッハマン-ハワードオーディナル $$BHO=\{\psi(\Omega),\psi(\Omega^\Omega),\psi(\Omega^{\Omega^\Omega}),...|\}$$

さらに、Onに関連するオンラインリソースをいただければ幸いです。

1 answers

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nombre 2018-11-22 16:18.

私はゲームについて知っているのと同じくらい大きな可算序数についてほとんど知らないと言わなければなりません。私は実際に序数を知りませんでした$\Gamma_0$ 最初の非叙述的な序列として考えられ、名前などがありました。

あなたの定義に関して、関数 $\phi_{\gamma}(\alpha)$ また、すべての序列よりも大きくする必要があります $\phi_{\eta}^{\circ n}(\phi_{\gamma}(\beta)+1)$ ために $\eta < \gamma$$n \in \mathbb{N}$ そして $\beta<\alpha$。Vleben関数の意味がわかりません。また、SVO、LVO、BHOについてもわかりません。

おそらくあなたが面白いと思うかもしれない何かは、コンウェイによって気づかれ、ゴンショーによって費やされた現象です:機能 $\phi_{\gamma}$ に拡張することができます $\mathbf{No}$ 自然な方法で。

ために $x=\{L\ | \ R\} \in \mathbf{No}$、あなたは知っている必要があります $\omega^x=\phi_0(x)=\{0,\mathbb{N}\ \phi_0(L)\ | \ 2^{-\mathbb{N}} \ \phi_0(R)\}$。次に、数のクラス$e$ そのような $\omega^e=e$ によってパラメータ化されます $\varepsilon_x=\phi_1(x):=\{\phi_0^{\circ \mathbb{N}}(0),\phi_0^{\circ \mathbb{N}}(\phi_1(L)+1)\ | \ \phi_0^{\circ \mathbb{N}}(\phi_1(R)-1)\}$、そして人は続けることができます。すべての段階で$0<\gamma$、 関数 $\phi_{\gamma}$ 数のクラスをパラメータ化します $e$$\forall \eta < \gamma,\phi_{\eta}(e)=e$

上の情報源について $\mathbf{On}$、これは単なる序数のクラスなので、これを調べることができます。序数を超現実数と見なすことで、少なくとも重要な意味ではなく、序数に関する新しい洞察が得られたことを私は知りません。


編集:より明確にするために、コンウェイのいわゆる $\omega$-マップは帰納的に次のように定義されます $x \longmapsto \omega^x:=\{0,n \ \omega^{x_L}:n \in \mathbb{N} \wedge x' \in x_L \ | \ 2^{-n} \ \omega^{x''}:n \in \mathbb{N} \wedge x'' \in x_R\}$ どこ $x=\{x_L \ | \ x_R\}$。これは、$r \omega^x < s \omega^y$ いつでも $x<y$ そして $r,s$ 厳密に正の実数です。

ために $\phi_1$、 これは $\phi_1(x):=\{\phi_0^{\circ n}(0),\phi_0^{\circ n}(\phi_1(x')+1): x' \in x_L \wedge n \in \mathbb{N} \ | \ \phi_0^{\circ n}(\phi_1(x'')-1): x' \in x_R \wedge n \in \mathbb{N}\}$、 どこ $f^{\circ n}$ を示します $n$-関数のフォールド構成 $f$ それ自体で。

これらは両方とも、ConwayのOn Numbers and Gamesの第3章と、GonshorのAn Introduction to the Theory of Surreal Numbersの第5章と第9章にあります。これについては、プレプリントのSurrealのセクション5と6でも詳しく説明されています。下部構造(固定小数点パラメーター化の式は備考6.23です)。

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