パワータワーで $\exp(x-\exp(x-\cdots))$

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TheSimpliFire 2018-11-11 05:55.

意図は、パワータワーの最大値を見つけることです $\exp(x-\exp(x-\cdots))$。ここから、周りにあることがわかります$0.965$またはおそらくさらに高い。その積分の概算値も興味のために与えられています。

以来 $\exp(x-\exp(x-\cdots))$ 2回の反復ごとにリンクにこの形状があります。 $$\exp(x-\exp(x-\cdots))=k\implies \exp(x-\exp(x-k))=k$$ ない $\exp(x-k)=k$

しかし、私たちは問題に直面しています、どのように書くのですか $k$ 純粋に $x$

3 answers

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Gottfried Helms 2018-12-22 12:54.

(0) $\qquad$ 基本的にしましょう $f_0(x)=\exp(x)$ その後、繰り返します $f_{k+1}(x)=\exp(x-f_k(x))$ 数回、仮定します $f(x)= \lim_{n\to \infty} f_n(x)$


(私) $\qquad$まず、形式的べき級数の観点からすべてを想定します。次に、これは次のようなものに収束します $$ f_\infty(x) \approx +0.567143290410 \\ +0.361896256635 x^{1} \\ +0.0736778051764 x^{2} \\ -0.00134285965499 x^{3} \\ -0.00163606514791 x^{4} \\ +0.000232149655570 x^{5} \\ +0.0000474223203353 x^{6} \\ -0.0000189444233824 x^{7} \\ -0.0000000208785458195 x^{8} \\ +0.00000117699067908 x^{9} \\ -0.000000179633602646 x^{10} \\ -0.0000000510936764494 x^{11} \\ +0.0000000206028966316 x^{12} \\ +0.000000000306827812731 x^{13} \\ -0.00000000154503877033 x^{14} \\ + O(x^{15}) $$パリ/ GPを使用します。設定 $x=1$ それは値にうまく近似します $f(1)=1$。また、 $x=0$ それはすぐに価値を与えます $\omega=0.5671432...=W(1)$

(II) $\qquad$ 私たちが言うなら $t:=f_\infty(x) $ そして $t=\exp(x-t)$ その後、私たちは導き出すことができます $t \exp(t) = \exp(x)$ したがって $ t=W(\exp(x)) = f_\infty(x) $ そしてこれは $1$ ために $x=1$ そして $\omega$ ために $x=0$ 従来通り。

(III) $\qquad$ 基本的な定義(べき級数としてではなく評価値として)を使用し、平均 $g_k = (f_k(x) + f_{k+1}(x))/2$ いくつかの(高い)反復 $k$ その後 $err_k(x)= g_k(x) -f_\infty(x) $ 小さな違いを示しています-曲線は $x \to 1$ しかし、それに応じて、同時に減少します $k \to \infty$ したがって、この制限プロセスによっても、ランベルトのW定義を使用した制限の定義が理にかなっているように見えます。
(III)以下の画像を参照してください。最初の写真は $f_{101}(x),f_{102}(x),f_\infty(x),err_{101}(x)$ 交互の値の平均を見ることが理にかなっていることは視覚的にわかります $f_{101}(x)$ そして $f_{102}$、そしてまた、平均と $f_\infty(x)$ 小さいですが、 $x \to 1$エラー曲線のスケール は画像の右にあります)。

2番目の写真は $f_{501}(x),f_{502}(x),f_\infty(x),err_{501}(x)$ 2つの曲線が近似していることがわかります $f_\infty(x)$ 小さい方に表示されるはるかに多くの曲線 $err_{501}(x)$

3番目の図は、反復によって収束率が向上することを示しています。値を使用します$x_0=0.8$ およびドキュメント $t_n(x_0)=f_{2n}(x_0)$ そして $u_n(x_0)=f_{2n+1}(x_0)$ ために $1$$128$反復。わかります$t_n()$ そして $u_n()$ うまく収束し、差は約12回の反復で約1桁の小数点以下の桁数だけ減少します。

0
J.G. 2018-12-22 13:08.

あなたは注意しました $k=e^{x-k}$ そう $ke^k=e^x$。ランバートに関して$W$関数、$k=W(e^x)$。主な問題は、タワーの定義としてどのブランチを選択するかです。

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Erik Satie 2020-04-22 02:01.

我々は持っています $\exp(x-\exp(x-k))=k$

両側で対数を取ると、次のようになります。

$$xe^k-e^x=e^k\ln(k)$$

あなたの平等は形です $(a,b,c\ne0)$$$ae^x+bx+c=0$$ どこ $a=-1$$b=e^k$ そして $c=-e^k\ln(k)$

一般的な解決策を見つけましょう。

まず、次と同等です。 $$\frac{a}{b}e^x+x+\frac{c}{b}=0$$ または $$\frac{a}{b}e^x=-\left(x+\frac{c}{b}\right)$$ または: $$\frac{b}{a}e^{-x}\left(-\left(x+\frac{c}{b}\right)\right)=1$$ または: $$e^{-x-\frac{c}{b}}\left(-\left(x+\frac{c}{b}\right)\right)=\frac{a}{b}e^{-\frac{c}{b}}$$

プット $u=-x-\frac{c}{b}$ そして $v=\frac{a}{b}e^{-\frac{c}{b}}$ 取得する:

$$ue^u=v$$

次に、ランベルト関数の定義を使用して、次のようにします。$$x=f(k)$$

次に取得する:

$$g(x)=k$$

ラグランジュ反転定理を主要なツールとして使用できます

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