SDPの双対問題のヘルプ

3
Vicente Merino 2018-11-02 23:24.

半正定値計画問題の双対を見つけるのに問題があります。

$$\min\;\;(tr(U)+tr(V))/2$$

$$s.t.\;\; \left[ \begin{array}{cc} U & X \\ X^T & V \end{array} \right]\succeq0$$

$$X_{ij}=M_{ij}\;\;(i,j)\in\Omega$$

どこ $tr()$ トレース演算子です。 $U, V$ そして $X$ 問題の行列変数であり、 $M$ 与えられた行列です。

一般的なSDPには次のプライマルデュアルペアがあることが知られています。

$$P) \;\; \min \;\; tr(C^TX)$$

$$s.t.\;\; tr(A_{i}^TX)=b_i\;\;i=1,...,m$$ $$X\succeq 0$$

$$D)\;\; \max b^Ty$$

$$s.t.\;\; \sum_{i=1}^{m}A_iy_i + S = C $$ $$S\succeq0$$

しかし、問題をこのフォームに変更する方法が見つかりません。

1 answers

4
Soroosh Shafiee 2018-11-06 01:09.

すべてを標準形式に変換する必要があります。主要な問題を標準形式で書くのは簡単です。実際、私たちは設定することができます

$$ C = \left[ \begin{array}{cc} I/2 & 0 \\ 0 & I/2 \end{array} \right], A_k = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1_{ij}/2 \\ 1_{ji}/2 & 0 \end{array} \right], b_k = M_{ij}, \forall (i,j) \in \Omega.$$

したがって、デュアルは $$ \max ~ tr(Y, M) $$ $$ s.t. ~ \left[ \begin{array}{cc} I/2 & -Y/2 \\ -Y^\top/2 & I/2 \end{array} \right] \succeq 0$$ どこ $M$ 次の場合、要素がゼロである行列です。 $(i,j) \notin \Omega$ そうでなければ $M_{ij}$

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