リアプノフ関数を選び、安定性を証明する方法は?

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Chemical Engineer 2018-10-26 20:33.

私は現在、自律システムのためのリアプノフ法を使用して解の安定性を決定する方法を学ぼうとしています。

非線形システムが与えられたとしましょう: $$\dot{x_1}(t)=-x_1(t) + x_1(t)x_2(t)$$ $$\dot{x_2}(t)=-x_2(t) $$ そして、その解決策を示したい $x(t)=0$ 漸近的に安定しています(私はそれが安定していることを知っています)。

リアプノフ関数を選択する必要があります $V(x)$ そのような $V(x)$ 正定です。

そして、私たちは必要です $\dot{V}(x)$ 漸近安定性を証明するために負の明確であること。

私は試した $$V(x)=\frac{1}{2}({x_1}^2 +{x_2}^2)$$

どこ

$$\dot{V}(x)={x_1}\dot{x_1}+{x_2}\dot{x_2}=-{x_1}^2 +{x_1}^2{x_2} -{x_2}^2$$

私の知る限り、この場合 $\dot{V}(x)$負の明確ではありません。だから私は何が欠けていますか?場合$V(x)$ 正定です& $\dot{V}(x)$不定ですが、新しいリアプノフ関数を選択する必要がありますか?または私はのさまざまな範囲を見る必要がありますか$x$ 安定性を判断する(グローバルとローカルの安定性)。

リアプノフ関数を選択する場合、正しい関数があることをどのようにして知ることができますか?

2 answers

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Kwin van der Veen 2018-10-27 06:05.

私の知る限り、リアプノフ関数を見つけるための一般的な方法はありません。この場合、微分方程式を解き、それを使用してリアプノフ関数を見つけることができます。つまり、$x_2$ から切り離されています $x_1$ そして、次の解決策があることを示すことができます

$$ x_2(t) = C_1\,e^{-t}, $$

どこ $C_1$ は定数であり、の初期条件に依存します $x_2$。上記の式を次の式に代入します。$\dot{x}_1$ 与える

$$ \dot{x}_1 = x_1 (C_1\,e^{-t} -1) $$

これは分離可能な微分方程式です。

$$ \frac{dx_1}{x_1} = (C_1\,e^{-t} -1) dt. $$

両側で統合すると、

$$ \log(x_1) = -C_1\,e^{-t} -t+C_2. $$

解決する $x_1$ 与える

\begin{align} x_1(t) &= e^{-C_1\,e^{-t} -t+C_2}, \\ &= C_3\,e^{-C_1\,e^{-t} -t}, \\ &= C_3\,e^{-t}\,e^{-C_1\,e^{-t}}, \end{align}

またはの定義を使用する場合 $x_2$ 次に、次のように表すこともできます。 $x_1(t)=C_3\,e^{-t}\,e^{-x_2}$。だから量$x_2$ そして $x_1\,e^{x_2}$ 両方とも指数関数的に速く減衰するため、次のリアプノフ関数を使用できます。

$$ V(x) = x_2^2 + x_1^2\,e^{2\,x_2}, $$

その導関数がであることが示されることができます

$$ \dot{V}(x) = -2\,x_2^2 - 2\,x_1^2\,e^{2\,x_2}. $$

私はそれを証明しておきます $V(x)$ 放射非有界です。

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Matthew C 2018-10-27 03:54.

の判別式を計算する場合 $-x_1^2+x_1^2x_2-x_2^2$ あなたが得る $D= 4-4x_2-4x_1^2$$(0,0)$ポジティブです。両方の部分が負であるため、これは$(0,0)$は極大値です。そう$\dot{V}$ 確かにゼロに近い負です。

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