凸性と強い下半連続性は、弱い下半連続性を意味します

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tommy1996q 2018-10-25 15:07.

セットなら見たことがあります $K$ ヒルベルト空間で $H$凸状で強く順次閉じられ、弱く閉じられます。先生はあなたが凸で弱く低い半連続関数を取るならば$F$、セットという事実を使用して $F^{-1}(-\infty, \lambda]$が凸であり、その閉鎖が弱い閉鎖を意味する場合、凸性と強い下半連続性は弱い下半連続性を意味すると簡単に結論付けることができます。しかし、その方法がわかりません。弱いトポロジーなどを含まない証明が欲しいのですが、彼の言い方は、定義だけを使って、あるいはそれ以上のことをすることになっていたのです。

1 answers

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weirdo 2018-11-01 12:18.

2つの事実と1つの発言から始めましょう。

ファクト1.レッツ$(X,\mathcal{T})$ 位相空間になり、 $f \colon (X,\mathcal{T}) \to \left[{-}\infty,{+}\infty\right]$。次に$f$ すべての場合に限り、半連続的ではありません $\xi \in \mathbb{R}$、下位レベルセット $f^{-1}(\left[{-}\infty,\xi\right])$閉じています。ここで、より低い半連続性とは、つまり、$x \in X$ そしてすべてのために $\xi \in \left]-\infty,f(x)\right[$、近所があります $V$$x$ そのように $(\forall y \in V)\; f(y) > \xi$

備考半連続性の低下は、$f$。特に、あなたの質問では、下半連続は「$f$ 「強いトポロジーに対してより低い半連続」であるのに対し、「弱くより低い半連続」は「$f$ 上の弱いトポロジーに対してより低い半連続的です $H$。」したがって、ドメイン上のトポロジに直接関連しているため、証明で弱いトポロジを回避する方法はないと思います。

ファクト2.レッツ$C$ の凸部分集合である $H$(あなたの質問で)。次に$C$ のヒルベルトノルムによって引き起こされるトポロジーで閉じられます $H$ 場合に限り $C$ 弱いトポロジーでは閉じられます。

あなたの質問に戻って、 $f$ 強いトポロジー(のノルムによって引き起こされる)に対して半連続的である $H$)そしてそれ $f$凸です。私たちはそれを示さなければなりません$f$ 弱く低い半連続、すなわち、 $f$ が連続している場合 $H$弱いトポロジーを備えています。これを行うためにファクト1を使用しましょう。$\xi \in \mathbb{R}$ そしてそれを示す $f^{-1}(\left[{-}\infty,\xi\right])$弱く閉じています。以来$f$ 凸型、セット $f^{-1}(\left[{-}\infty,\xi\right])$凸です。一方、$f$ 強力なトポロジー、セットへのlsc wrt $f^{-1}(\left[{-}\infty,\xi\right])$ ファクト1によって強力なトポロジで閉じられます。全体として、ファクト2は、実際に弱く閉じられていることを意味します。

だから、私たちはそれを示しました $\xi \in \mathbb{R}$、セット $f^{-1}(\left[{-}\infty,\xi\right])$弱いトポロジーでは閉じられます。事実1を考慮して、次のように結論付けます。$f$ 弱いlsc、つまり、次の場合は半連続的です $H$ 弱いトポロジーを備えています。

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