適切なマップはいつ閉じられますか?

2
Matthew Daws 2018-10-25 09:39.

ではページ53 Duistermaatとコルクによる「嘘グループ」の、私たちは次のことを見つけます:

地図 $f:X\rightarrow Y$位相空間間の適切な場合$f^{-1}(K)$ コンパクトごとにコンパクトです $K\subseteq Y$

その後、次のように主張されます $X$ そして $Y$ ハウスドルフは $f$ は閉じたマップです(つまり、 $C\subseteq X$ その後閉じられます $f(C)$ で閉じられます $Y$)。

私はこれを証明することができませんでした。さまざまな場所で、次のような証拠を見つけることができます。$Y$はハウスドルフで局所コンパクトであり、適切な場合は閉じていることを意味します(たとえば、MSEでのこの回答)。

この結果は、ハウスドルフ条件のすぐ下で本当ですか?そうでない場合、反例は何ですか?

1 answers

4
Eric Wofsey 2018-10-25 10:57.

あなたが単に仮定するならば、これは真実ではありません $Y$ ハウスドルフです(または両方を想定している場合でも $X$ そして $Y$ハウスドルフです)。たとえば、$S$ 非可算集合であり、要素を修正する $a\in S$。しましょう$Y$ あります $S$ セットが共同カウント可能であるか含まれていない場合にセットが開いているようなトポロジで $a$。しましょう$X$ あります $S$離散トポロジーで。次に$X$ そして $Y$ ハウスドルフと恒等写像です $f:X\to Y$ のすべてのコンパクトサブセットが適切であるため $Y$有限です。しかしながら、$f$ 閉じていません。

(より一般的には、あなたは取ることができます $Y$ コンパクトに生成されないハウスドルフ空間であり、 $f:X\to Y$ その $k$-化。したがって、これをリンクされた質問でのStefan Hamckeの回答と組み合わせると、この定理がハウスドルフ空間で有効になるための必要十分条件になります。$Y$ それは $Y$ コンパクトに生成されます。)

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