経路連結空間から単連結空間への被覆地図が恒常性であることを示す。

2
Error 404 2018-09-09 21:07.

しましょう $p : E \to B$ でカバーマップになる $E$ 接続されたパスと $B$単に接続されています。次に$p$ 同相写像です。

私のアプローチ:レッツ$p(e_0)=b_0.$ 以来 $E$ パスが接続されている、リフティング対応 $\phi : \pi_1(B,b_0) \to p^{-1}(b_0)$全射です。しかしそれ以来$B$ 単連結、 $\pi_1(B,b_0)=\{e\}.$ したがって、 $|p^{-1}(b_0)|=1.$ 次に、 $B$ ことを意味します $|p^{-1}(b)|=1 \; \forall \; b \in B.$

したがって、すべて $b \in B$ 均等に覆われた近所があります $U$ そのような $p^{-1}(U)=V$ のいくつかのオープンな近所のために $e_0$ そして $p|_U : U \to V$ 同相写像です。


証明はもうすぐ終わりだと思いますが、ここで立ち往生しています。この証明を完成させるためのアイデアは何ですか?

1 answers

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Andres Mejia 2018-09-10 04:16.

誘導されたマップ $p_*:\pi_1(E) \to (B)$ 単射になるので $\pi_1(E)$ また、些細なことである必要があります( $E$ 単純に接続されています。)

以来 $E$ パスが接続されていると仮定します $|p^{-1}(b)|>1$、および2つのポイント間のパスを取ります。 $\alpha:a \mapsto b$。 $p \circ \alpha$ のループです $B$、 $\dots$


あなたの質問で定理を使用すると、単射があります。局所同相写像が開いていることを示す必要があります(開いているセットを開いているセットにマップします)。そうすると、結果が得られます。ヒントについては、こちらをご覧ください。

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