の証明について: $A,B \in M_n(\mathbb{k})$ 対角化可能で通勤、同時に対角化可能です。」

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guidoar 2018-09-04 19:42.

タイトルが示すように、私は次の証拠を探しています、

命題。しましょう$A, B \in M_n(\mathbb{k})$ 対角化可能行列を通勤することで、 $AB = BA$。したがって、$A$ そして $B$ 同じ基準で対角化することができます。

これらの追加要件:最小多項式の使用なし、および可能な限り基本的な引数。

同様の質問を探して、私はこの答えに出くわしました。それはの固有値が$A$ です $B$-不変であり、その逆も同様です。これらが1次元の場合、制限することによって$A$ または $B$他の固有空間の関数として、それらはすべての固有ベクトルを共有していることがわかります(ただし、固有値が異なる可能性があります)。したがって、それらのベースは両方の行列を同時に対角化します。ただし、任意の次元の固有空間の場合は演習として残しておきます。

続行する方法に関するヒントはありますか?

編集:この答えを読んだとき、私は質問を次のように減らすことができると思います:固有空間が与えられていることをどのように示すことができますか$E_\lambda$、 $B : E_\lambda \to E_\lambda$対角化可能ですか?これが答えられれば、それから

$$ \mathbb{k}^n = E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_n} $$

と $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ の固有値 $A$、およびの各制限 $B$ に $E_{\lambda_i}$ に基づいて対角化することができます $B_i = \{v^i_1 , \dots, v^i_{k_i}\}$、基礎 $\mathcal{B} = \cup_{i=1}^nB_i$ の $\mathbb{k}^n$ の固有ベクトルで構成されます $B$ の固有ベクトルでもあります $A$、それぞれが $v_j^i \in E_{\lambda_i}$。したがって、の各要素$\mathcal{B}$ 両方の固有ベクトルになります $A$ そして $B$、これは $\mathcal{B}$ 同時に行列を対角化します。

要するに、私がこれについて正しく考えた場合、私の質問は次のようになります。 $B$-の不変固有空間 $A$ の固有ベクトルの基底を持っています $B$?

1 answers

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guidoar 2018-09-06 02:56.

この投稿で証明されているように、アイデアは次のようになります。$W$ AN $B$-不変部分空間。さて、$B$ 固有値で対角化可能 $\mu_1, \dots, \mu_k$、

$$ \mathbb{k}^n = E_{\mu_1} \oplus \cdots \oplus E_{\mu_k} $$

それを見るだけで十分です $W = (W\cap E_{\mu_1}) \oplus \cdots \oplus ( W\cap E_{\mu_k})$ その場合、それぞれの基礎から基礎を形成することができます $W \cap E_{\mu_i}$、の固有値で作成されます $B$ に含まれているので $E_{\mu_i}$。事実上、両方の包含を見てみましょう:直接のものはそれです$(W\cap E_{\mu_1}) \oplus \cdots \oplus ( W\cap E_{\mu_k})\subseteq W$ 各スペースはに含まれているので $W$、後者は部分空間です。

他は、 $W = W \cap \mathbb{k}^k = W \cap \bigoplus_{i=1}^n E_{\mu_i}$、任意の要素 $w$ の $W$ は固有ベクトルの合計であり、

$$w = e_1 + \dots + e_l$$

と $e_i$ 固有値の固有ベクトル $\mu_{j_i}$。したがって、次のことを示すだけで十分です。$\sum_{i=1}^ke_l \in W$、その後 $e_1, \dots, e_l \in W$。誘導で進めます$l$。場合$l = 1$、その後 $e_1 = w \in W$。場合$l >1$、以来

$$ Bw - \mu_{j_1}w = (\mu_{j_1} - \mu_{j_1})e_1 + \dots + (\mu_{j_l} - \mu_{j_1})e_l \in W $$

そして $\mu_{j_i} - \mu_{j_1} \neq 0$、帰納的仮説による $e_i \in W$ ために $i >1$、そしてついに $e_1 = w - e_2 - \dots - e_l \in W$、証明を完了します。

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