LP問題の要件スペースと実現可能性を見つける

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James 2018-09-04 22:55.

試み:

しましょう $x_5,x_6$ スラック変数であるため、システムは次のようになります。

\begin{align*} \max \; \; \; & -x_1 - x_2 + 2 x_3 + x_4 \\ \text{subject to} \; \; \; & 2x_1 + x_2 + x_3 + x_4 - x_5 = 6 \\ & x_1 + 2 x_2 - 2x_3 + x_4 + x_6 = 4 \\ & x_i \geq 0, \; \; \; \; i=1,2,3,4,5,6 \end{align*}

制約は次のように書くことができます $A {\bf x } = {\bf b}$ どこ

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 & 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$

これで、要件空間はすべての正のベクトルのセットになります ${\bf x} = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)$ 線形結合を満たす $\sum_{i=1}^6 {\bf a}_i x_i$ どこ ${\bf a}_i$ 行列のi番目の列です $A$。次の図では、ベクトルをプロットしています。

要件スペースは平面全体であることがわかります。パートb)については、ベクトルが${\bf b}$ ベクトルによって生成された円錐に属します ${ \bf a }_i$、システムは実行可能です。私たちの場合には、${\bf b} = (6,4)^T$、そして要件空間は平面全体であるため、システムが実行可能でなければならないことは自明です。

これは今のところ正しいですか?私はこの概念を理解しようとしているだけです。パートc)で立ち往生していますが、どうすれば最適な解決策を見つけることができますか?

1 answers

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LinAlg 2018-09-13 07:03.

要件空間は、すべての非負のベクトルのセットです。${\bf x} = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)$ 線形結合を満たす $\sum_{i=1}^6 {\bf a}_i x_i$ どこ ${\bf a}_i$ 行列のi番目の列です $A$。グラフィカルに、ベクトルの組み合わせを円錐として描くことができます。たとえば、によって生成された円錐$a_1$ そして $a_2$は:コーンが含まれているので$b$、このベクトルの組み合わせは実行可能です $x$ (($x_1=8/3$、 $x_2=2/3$)。を含むベクトルの他の組み合わせ$b$ です $(a_1,a_4)$、 $(a_1,a_5)$、 $(a_1,a_6)$、 $(a_2,a_3)$、 $(a_3,a_4)$ そして $(a_3,a_6)$。あなたが見つけた場合$x$ これらの組み合わせのそれぞれについて、それらのそれぞれの客観的価値を計算します $x$、対物レンズの値が最も大きいものが最適です。

しかし、質問には欠陥があります。以来、最適な解決策はありません$x=[0; 0; c; 0]$ 元の問題に対して実行可能です $c\geq 6$。目標値は$2c$、任意に大きくなる可能性があります。

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