小数部分の対称二重積分

1
Kays Tomy 2018-07-28 04:14.

しましょう $\{\}$ 小数部分関数を示しますが、次の二重積分は閉じた形をしていますか?

$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\bigg\{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\bigg\}dx\,dy$$

2 answers

1
Mariusz Iwaniuk 2018-07-28 09:24.

それは完全な答えではありません:

IDの使用:

$$\left \{ z \right \}=\frac{1}{2}-\sum _{k=1}^{\infty } \frac{\sin (2 k \pi z)}{k \pi }$$

私たちは書くことができます(CASの助けを借りて):

$$\color{red}{\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\bigg\{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\bigg\}dx\,dy}=\\\int _0^1\int _0^1\left(\frac{1}{2}-\sum _{k=1}^{\infty } \frac{\sin \left(2 k \pi \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right)}{k \pi }\right)dydx=\\\frac{1}{2}-\sum _{k=1}^{\infty } \left(4 k \pi ^2 \text{Ci}(2 k \pi )+4 \cos (2 k \pi ) \text{Ci}(2 k \pi )+2 \pi \sin (2 k \pi )-\frac{\sin (4 k \pi )}{k \pi }+8 k \pi \text{Ci}(2 k \pi ) \text{Si}(2 k \pi )-4 \sin (2 k \pi ) \text{Si}(2 k \pi )\right)=\color{red}{\\\frac{3}{2}-2 \gamma +4 \pi \sum _{k=1}^{\infty } (2 k \text{Ci}(2 k \pi ) \text{Si}(2 k \pi )-k \pi \text{Ci}(2 k \pi ))}\approx0.495921$$

どこ: $\text{Ci}$ そして $\text{Si}$ある余弦(正弦)積分関数が。

0
Dr. Wolfgang Hintze 2018-08-20 16:37.

これは閉じた形を提供しないため、解決策ではありませんが、小数部分の二重積分が滑らかな被積分関数の単一積分に縮小される、よりコンパクトな形式の解を導き出します。

これは、評価のソリューションで説明されている方法の別の図です。$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\{\frac{1}{\,x}\}\{\frac{1}{x\,y}\}dx\,dy\,$

結果

ここにそれを示します

$$i:=\int _0^1\int _0^1\{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\}\,dydx= 1-\gamma +\int_0^1 \psi ^{(1)}(\xi +1) \psi ^{(0)}(2-\xi ) \, d\xi\tag{1}$$

どこ $\{x\}$ のフラクショナル部分です $x$、 $\gamma$ オイラーガンマであり、 $\psi ^{(n)}(x)$ はポリガンマ関数です。

ここで、ポリガンマ関数の積分は $\simeq 17\%$ の修正 $1-\gamma$。数値的には、それぞれ、

$$N(i)=0.42278433509846713 +0.07313656826103414=0.4959209033595013$$

導出

まず、2つの変数の小数部分を単一の変数の小数部分に減らすことを目的として、積分を単純化します。

聞かせて $x\to \frac{1}{r}$、 $y\to \frac{1}{s}$、 に続く $r\to u$、 $s \to v-u$ につながる

$$i=\int _1^\infty \int _{1+u}^\infty \frac{1}{u^2 (v-u)^2}\{v\}\,dudv\tag{2}$$

ヤコビ行列式が $1$ そしてそれ以来 $s\ge 1$、v-積分はで開始する必要があります $1+u$。

次に、積分を整数領域で別々の積分に分割します。

$$\int_1^\infty f(u) \,du = \int_1^2 f(u) \,du +\int_2^3 f(u) \,du +... \\= \int_0^1 f(1+\xi) \,d\xi +\int_0^1 f(2+\xi) \,d\xi +... \\= \sum_{k=1}^\infty \int_0^1 f(k+\xi) \,d\xi = \int_0^1 (\sum_{k=1}^\infty f(k+\xi) )\,d\xi$$

最後のステップでは、オプションで統合と合計を改良しました。

私たちの場合、 $u=k+\xi$、 $v=m+\eta$ と $\{u\}=\xi$ そして $\{v\}=\eta$ 取得する

$$i=\sum_{k=1}^\infty \int_0^1 \frac{\,d\xi}{(k+\xi)^2} \left(\int_{1+k+\xi}^{2+k} \frac{\,dv\{v\}}{(v-k-\xi)^2}\\+\sum_{m=2+k}^\infty \int_0^1 \frac{\,d\eta\; \eta}{(m-k-\xi +\eta)^2}\right)$$

括弧内の最初の項は、 $v=(1+k+\xi)+\eta$、 $\{v\}=\xi+\eta$ 積分で

$$\int_{0}^{1-\xi} \frac{\,d\eta(\xi+\eta)}{(v-k-\xi)^2}= \frac{1}{-2+\xi}+\xi +\log(2-\xi)$$

括弧内の第2項は $m-k=n$

$$\sum_{n=2}^\infty \int_0^1 \frac{\,d\eta\; \eta}{(n-\xi +\eta)^2}\\=\sum_{n=2}^\infty (-\frac{1}{n-\xi +1}-\log (n-\xi )+\log (n-\xi +1))\\=\psi ^{(0)}(3-\xi )-\log (2-\xi )$$

したがって、ブラケットは次のようになります

$$(\frac{1}{-2+\xi}+\xi +\log(2-\xi))+(\psi ^{(0)}(3-\xi )-\log (2-\xi ))\\=\frac{1}{-2+\xi}+\xi +\psi ^{(0)}(3-\xi ) $$

log-termが削除されていることに注意してください。

これで、ブラケットが次の理由でさらに単純化されることがわかります。

$$\psi ^{(0)}(3-\xi )= H_{2-\xi}-\gamma$$

そして

$$H_{2-\xi}-\frac{1}{-2+\xi}= H_{1-\xi}=\psi ^{(0)}(2-\xi )+\gamma$$

ブラケットはに依存しないので $k$ 全体の合計を行うことができます

$$\sum_{k=1}^\infty \int_0^1 \frac{\,d\xi}{(k+\xi)^2}=\psi ^{(1)}(\xi +1)$$

そして、私たちは積分を残されています

$$i=\int_0^1 \,d\xi \psi ^{(1)}(\xi +1)(\xi +\psi ^{(0)}(2-\xi )) $$

最後に、関係

$$\int_0^1 \xi \psi ^{(1)}(\xi +1) \, d\xi=1-\gamma$$

導出を完了します。

Related questions

MORE COOL STUFF

ケイト・ブランシェットは3日間一緒に夫と一緒に寝て、25年経ってもまだ夫と結婚しています

ケイト・ブランシェットは3日間一緒に夫と一緒に寝て、25年経ってもまだ夫と結婚しています

ケイト・ブランシェットは、夫に会ったとき、典型的な交際のアドバイスに逆らいました。

マイケルシーンが非営利の俳優である理由

マイケルシーンが非営利の俳優である理由

マイケルシーンは非営利の俳優ですが、それは正確にはどういう意味ですか?

ホールマークスターのコリンエッグレスフィールドがRomaDramaLiveでスリル満点のファンと出会う![エクスクルーシブ]

ホールマークスターのコリンエッグレスフィールドがRomaDramaLiveでスリル満点のファンと出会う![エクスクルーシブ]

特徴的なスターのコリン・エッグレスフィールドは、RomaDrama Liveでのスリル満点のファンとの出会いについて料理しました!加えて、大会での彼のINSPIREプログラム。

「たどりつけば」をオンラインでストリーミングできない理由

「たどりつけば」をオンラインでストリーミングできない理由

ノーザンエクスポージャーが90年代の最も人気のある番組の1つになった理由を確認するには、Blu-rayまたはDVDプレーヤーをほこりで払う必要があります。

バイオニック読書はあなたをより速く読むことができますか?

バイオニック読書はあなたをより速く読むことができますか?

BionicReadingアプリの人気が爆発的に高まっています。しかし、それは本当にあなたを速読術にすることができますか?

ドミニカのボイリング湖:アクセスは簡単ではありませんが、ハイキングする価値があります

ドミニカのボイリング湖:アクセスは簡単ではありませんが、ハイキングする価値があります

ドミニカのボイリング湖は、世界で2番目に大きいボイリング湖です。そこにたどり着くまでのトレッキングは大変で長いですが、努力する価値は十分にあります。

私たちの水をきれいに保つのを助けるためにあなたの髪を寄付してください

私たちの水をきれいに保つのを助けるためにあなたの髪を寄付してください

サロンからのヘアトリミングや個人的な寄付は、油流出を吸収して環境を保護するのに役立つマットとして再利用できます。

ホワイトハウスの最も記憶に残る結婚式を見てください

ホワイトハウスの最も記憶に残る結婚式を見てください

過去200年以上の間にホワイトハウスで結婚したのはほんの数人です。彼らは誰でしたか、そしてそこで結婚式を獲得するために何が必要ですか?

Netflixのジョエルマクヘイルとのジョエルマクヘイルショーは、ジョエルマクヘイルにぴったりの車を復活させます

Netflixのジョエルマクヘイルとのジョエルマクヘイルショーは、ジョエルマクヘイルにぴったりの車を復活させます

ジョエル・マクヘイル、マイク・コルター(スクリーンショット:Netflix)「私の神よ、これは1つのことを変えます。」これは、ジョエル・マクヘイルとのジョエル・マクヘイルショーの最後のジョークです。リアリティ番組の嘲笑と寛大なスナキネスの時間は、なじみのある顔を見つけます。

チームロケットは20年ぶりにポケモンシリーズでアッシュを破った

チームロケットは20年ぶりにポケモンシリーズでアッシュを破った

画像経由:@pancakeparadox(Twitter)。1997年にポケモンシリーズが初公開されて以来、チームロケット(またはラテンアメリカではチームロケット)として知られる悪役のグループは、何度もアッシュに直面してきました。

今週の科学技術でトランプがめちゃくちゃになったことすべて

今週の科学技術でトランプがめちゃくちゃになったことすべて

画像:ゲッティ私たち全員が千年もの間生きていて、私たちの体が燃える風によってほこりと長引く悲鳴だけに押し流されたと考えるのは驚くべきことです。私たちがそうしていないことを除いて、それはトランプ政権の最初の週の終わりであり、驚くほど多くの恐ろしいことがすでに起こっています。

あなたの「マイクロピッグ」が代わりに通常のピッグになってしまったとしても驚かないでください

あなたの「マイクロピッグ」が代わりに通常のピッグになってしまったとしても驚かないでください

そして今、あることを手に入れていると思っていたが、まったく別のことをしてしまった男の話。CBSニュースは、彼女が「ミニブタ」であるという誤ったふりをしてエスターを養子にしたカナダ人のスティーブジェンキンスの心温まる物語をもたらします。これは、特にせいぜいゴールデンレトリバーまたはセントバーナードをストラップします。

Zendaya Wishes Boyfriend Tom Holland Happy Birthday with Cuddly Photo: He 'Makes Me the Happiest'

Zendaya Wishes Boyfriend Tom Holland Happy Birthday with Cuddly Photo: He 'Makes Me the Happiest'

Zendaya shared a sweet photo in honor of boyfriend Tom Holland's 26th birthday Wednesday

小さな女性:脳卒中を患った後に病院から解放されたアトランタのジューシーな赤ちゃん:「まだ癒し」

小さな女性:脳卒中を患った後に病院から解放されたアトランタのジューシーな赤ちゃん:「まだ癒し」

シーレン「Ms.JuicyBaby」ピアソンは、先月脳卒中で入院した後、「もう一度たくさんのことをする方法を学ばなければならない」ため、言語療法を受けていることを明らかにしました。

エマストーンは彼女のクリフサイドマリブビーチハウスを420万ドルでリストアップしています—中を見てください!

エマストーンは彼女のクリフサイドマリブビーチハウスを420万ドルでリストアップしています—中を見てください!

オスカー受賞者の世紀半ばの家には、3つのベッドルーム、2つのバス、オーシャンフロントの景色があります。

ジーニー・メイ・ジェンキンスは、母乳育児の経験の中で、彼女は「本当に、本当に落ち込んでいる」と言います

ジーニー・メイ・ジェンキンスは、母乳育児の経験の中で、彼女は「本当に、本当に落ち込んでいる」と言います

ジーニー・メイ・ジェンキンスは、生後4か月の娘、モナコに母乳育児をしていると語った。

Come diventare Web Developer?

Come diventare Web Developer?

Vorresti diventare web developer e non sai da dove cominciare?! Qui troverai tutte le risposte necessarie, anche io non sapevo che strada intraprendere ma voglio aiutarti a non commettere i miei stessi errori. Cosa imparare? Le competenza essenziali per qualsiasi web developer sono almeno tre.

投資ノート:Bioscout AU$300万シード

投資ノート:Bioscout AU$300万シード

Bioscoutは、農家を運転席に置くという使命を負っています。Artesian(GrainInnovate)やUniseedと並んで、最新のシードラウンドでチームを支援できることをうれしく思います。問題真菌症による重大な作物の損失は、農民にとって試練であることが証明されています。

リトルマーケットリサーチ1| 2022年のクイックグリンプス遠隔医療市場

リトルマーケットリサーチ1| 2022年のクイックグリンプス遠隔医療市場

遠隔医療は、パンデミック後の時代では新しいものではなく、時代遅れの分野でもありません。しかし、業界を詳しく見ると、需要と供給の強力な持続可能性と、米国で絶え間ない革命となる強力な潜在的成長曲線を示しています。

スタートアップ資金調達環境:タイのスタートアップエコシステムの次は何ですか?

スタートアップ資金調達環境:タイのスタートアップエコシステムの次は何ですか?

2021年は、世界的なベンチャーキャピタル(VC)の資金調達にとって記録的な年でした。DealStreetAsiaによると、東南アジアも例外ではなく、この地域では年間で記録的な25の新しいユニコーンが採掘されました。

Language