定数ノルムのベクトル値正則関数

David C. Ullrich 2018-07-24 14:40.

その全体を通して仮定します $E$ は複雑なノルムベクトル空間です。

質問：どのために$E$ それはそれを保持しますか $D\subset\Bbb C$ ドメインです、 $f:D\to E$ 正則であり、 $||f(z)||$ 一定の場合 $f$ 一定ですか？

以下の参考のために、そのようなスペースをcncスペースと呼びます（「定数ノルムは定数を意味します」の場合）。

（なぜsome-complex-variablesタグ：If $E$はCNCではないので、ある意味で単位球の境界には解析ディスクが含まれます。ですから、少なくとも有限次元の場合、これは単位球の厳密な擬凸性と関係があるのではないかと思います。私はscvについて何も知りません...）

コンテキスト：この質問に対する肯定的な答えは、$\Bbb C^2$ユークリッドノルムはCNC空間です。実際、答えの1つは、ヒルベルト空間がCNCであることを示しています。（その答えのべき級数のペアを単一のべき級数に置き換えます$E$-値の係数...）

バナッハ空間はCNCだと推測しました。しかし、いいえ：

例： $\Bbb C^2$ とともに $\ell_\infty$ ノルム $||z||_\infty=\max(|z_1|,|z_2|)$CNCではありません。関数を検討してください$f(z)=(1,z)$ 単位円板で。

これまでの私の仕事：すべてのバナッハ空間がCNCであるという私の失敗した証明は、当然、CNCを暗示する状態につながります。それが標準の[副詞]-凸条件の1つと同等であるかどうかわからないので、別のばかげた名前を発明して、「かなり凸」を表すqcと呼びます。

定義 $E$すべての場合はqcです$\Lambda\in E^*$ と $\Lambda\ne0$ ただ1つ存在します $x\in E$ と $||x||=1$ そして $\Lambda x=||\Lambda||$。

したがって、たとえば、ヒルベルト空間はqcであり、 $L^p(\mu)$ ために $\sigma$-有限の $\mu$ そして $1<p<\infty$。

簡単な定理。場合$E$ qcの場合 $E$ CNCです。

証明：言う $D$ つながっている、 $f:D\to E$ 正則であり、 $||f(z)||=1$ すべてのために $z$。修正$p\in D$。ハーン・バナッハは存在することを示しています$\Lambda\in E^*$ と $||\Lambda||=1$ そして $\Lambda f(p)=1$。今から$|\Lambda f(z)|\le 1$ すべてのための $z$、MMTはそれを示しています $\Lambda\circ f$ は一定です。

だからすべてのために $z\in D$ 我々は持っています $\Lambda f(z)=\Lambda f(p)=||f(z)||=||f(p)||=||\Lambda||=1$; qcの定義は、これが意味するように正確に考案されました$f(z)=f(p)$。

仮定することは明らかに不可能ではないようです $E$ qcではありません。に類似した例を作成できます。 $f(z)=(1,z)$ 上記を示すために $E$はCNCではありません...編集：いいえ、以下の答えはそれを示しています$L^1(\mu)$ それは確かにqtではありませんが、cncです。

banach-spaces several-complex-variables

1 answers

Noname 2018-07-25 00:41.

これは、EdwardThorpとRobertWhitleyによるバナッハ空間への解析関数の強力な最大絶対値の定理（Proc。Amer。Math。Soc。18（1967）、640-646）で研究されました。関連する部分を引用します。

定義2.1。点数$e$ 凸部分集合の $K$ 複雑なバナッハ空間の $X$の複雑な極値です$K$ もし $\{e+zy: |z|\le 1\} \subset K$ いくつかのための] $y$ に $X$ ことを意味します $y = 0$。

定理3.1。しましょう$X$単位球の表面上の各点が単位球の複雑な極値点になるような複雑なバナッハ空間である。次に、最大絶対値の定理の強力な形式が成り立ちます。$D$ ドメインと $f: D\to X$ 分析関数、 $|f(z)|$ 最大値はありません $D$ または $f(z)$ は一定です $D$。

逆に、単位球の表面が $X$ 球の複雑な極値ではない点が含まれている場合、非定数の解析関数があります $f$ 開いている単位円板をにマッピングする $X$ まだ満足 $|f(z) | = 1$ すべてのために $z$ ディスクに。

彼らの言語では、「単位球」は $\{x : \|x\|\le 1\}$、セット中 $\{x : \|x\| = 1\}$ は「単位球の表面」です。

場合 $X$は実際の意味で厳密に凸であり（単位球には自明でない線分が含まれていません）、定理3.1の条件が満たされます。ただし、ThorpとWhitleyは、一部の非狭義凸空間もこの条件を満たすことを示しています。特に、$L^1$ [任意のメジャースペース上]。

定理4.2。の単位球の表面上のすべての点$L^1$ 複雑な極値です。

その後の開発については、ベクトル値分析および調和関数の最大原理の拡張など、Patrick Dowlingによる論文（Journal of Mathematical Analysis and Applications Volume 190、Issue 2、pages 599-604）を参照してください。

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