定数ノルムのベクトル値正則関数

3
David C. Ullrich 2018-07-24 14:40.

その全体を通して仮定します $E$ は複雑なノルムベクトル空間です。

質問:どのために$E$ それはそれを保持しますか $D\subset\Bbb C$ ドメインです、 $f:D\to E$ 正則であり、 $||f(z)||$ 一定の場合 $f$ 一定ですか?

以下の参考のために、そのようなスペースをcncスペースと呼びます(「定数ノルムは定数を意味します」の場合)。

(なぜsome-complex-variablesタグ:If $E$はCNCではないので、ある意味で単位球の境界には解析ディスクが含まれます。ですから、少なくとも有限次元の場合、これは単位球の厳密な擬凸性と関係があるのではないかと思います。私はscvについて何も知りません...)

コンテキスト:この質問に対する肯定的な答えは、$\Bbb C^2$ユークリッドノルムはCNC空間です。実際、答えの1つは、ヒルベルト空間がCNCであることを示しています。(その答えのべき級数のペアを単一のべき級数に置き換えます$E$-値の係数...)

バナッハ空間はCNCだと推測しました。しかし、いいえ:

例: $\Bbb C^2$ とともに $\ell_\infty$ ノルム $||z||_\infty=\max(|z_1|,|z_2|)$CNCではありません。関数を検討してください$f(z)=(1,z)$ 単位円板で。

これまでの私の仕事:すべてのバナッハ空間がCNCであるという私の失敗した証明は、当然、CNCを暗示する状態につながります。それが標準の[副詞]-凸条件の1つと同等であるかどうかわからないので、別のばかげた名前を発明して、「かなり凸」を表すqcと呼びます。

定義 $E$すべての場合はqcです$\Lambda\in E^*$ と $\Lambda\ne0$ ただ1つ存在します $x\in E$ と $||x||=1$ そして $\Lambda x=||\Lambda||$。

したがって、たとえば、ヒルベルト空間はqcであり、 $L^p(\mu)$ ために $\sigma$-有限の $\mu$ そして $1<p<\infty$。

簡単な定理。場合$E$ qcの場合 $E$ CNCです。

証明:言う $D$ つながっている、 $f:D\to E$ 正則であり、 $||f(z)||=1$ すべてのために $z$。修正$p\in D$。ハーン・バナッハは存在することを示しています$\Lambda\in E^*$ と $||\Lambda||=1$ そして $\Lambda f(p)=1$。今から$|\Lambda f(z)|\le 1$ すべてのための $z$、MMTはそれを示しています $\Lambda\circ f$ は一定です。

だからすべてのために $z\in D$ 我々は持っています $\Lambda f(z)=\Lambda f(p)=||f(z)||=||f(p)||=||\Lambda||=1$; qcの定義は、これが意味するように正確に考案されました$f(z)=f(p)$。

仮定することは明らかに不可能ではないようです $E$ qcではありません。に類似した例を作成できます。 $f(z)=(1,z)$ 上記を示すために $E$はCNCではありません...編集:いいえ、以下の答えはそれを示しています$L^1(\mu)$ それは確かにqtではありませんが、cncです。

1 answers

4
Noname 2018-07-25 00:41.

これは、EdwardThorpとRobertWhitleyによるバナッハ空間への解析関数の強力な最大絶対値の定理(Proc。Amer。Math。Soc。18(1967)、640-646)で研究されました。関連する部分を引用します。

定義2.1。点数$e$ 凸部分集合の $K$ 複雑なバナッハ空間の $X$複雑な極値です$K$ もし $\{e+zy: |z|\le 1\} \subset K$ いくつかのための] $y$$X$ ことを意味します $y = 0$

定理3.1。しましょう$X$単位球の表面上の各点が単位球の複雑な極値点になるような複雑なバナッハ空間である。次に、最大絶対値の定理の強力な形式が成り立ちます。$D$ ドメインと $f: D\to X$ 分析関数、 $|f(z)|$ 最大値はありません $D$ または $f(z)$ は一定です $D$

逆に、単位球の表面が $X$ 球の複雑な極値ではない点が含まれている場合、非定数の解析関数があります $f$ 開いている単位円板をにマッピングする $X$ まだ満足 $|f(z) | = 1$ すべてのために $z$ ディスクに。

彼らの言語では、「単位球」は $\{x : \|x\|\le 1\}$、セット中 $\{x : \|x\| = 1\}$ は「単位球の表面」です。

場合 $X$は実際の意味で厳密に凸であり(単位球には自明でない線分が含まれていません)、定理3.1の条件が満たされます。ただし、ThorpとWhitleyは、一部の非狭義凸空間もこの条件を満たすことを示しています。特に、$L^1$ [任意のメジャースペース上]。

定理4.2。の単位球の表面上のすべての点$L^1$ 複雑な極値です。

その後の開発については、ベクトル値分析および調和関数の最大原理の拡張など、Patrick Dowlingによる論文(Journal of Mathematical Analysis and Applications Volume 190、Issue 2、pages 599-604)を参照してください。

Related questions

MORE COOL STUFF

ケイト・ブランシェットは3日間一緒に夫と一緒に寝て、25年経ってもまだ夫と結婚しています

ケイト・ブランシェットは3日間一緒に夫と一緒に寝て、25年経ってもまだ夫と結婚しています

ケイト・ブランシェットは、夫に会ったとき、典型的な交際のアドバイスに逆らいました。

マイケルシーンが非営利の俳優である理由

マイケルシーンが非営利の俳優である理由

マイケルシーンは非営利の俳優ですが、それは正確にはどういう意味ですか?

ホールマークスターのコリンエッグレスフィールドがRomaDramaLiveでスリル満点のファンと出会う![エクスクルーシブ]

ホールマークスターのコリンエッグレスフィールドがRomaDramaLiveでスリル満点のファンと出会う![エクスクルーシブ]

特徴的なスターのコリン・エッグレスフィールドは、RomaDrama Liveでのスリル満点のファンとの出会いについて料理しました!加えて、大会での彼のINSPIREプログラム。

「たどりつけば」をオンラインでストリーミングできない理由

「たどりつけば」をオンラインでストリーミングできない理由

ノーザンエクスポージャーが90年代の最も人気のある番組の1つになった理由を確認するには、Blu-rayまたはDVDプレーヤーをほこりで払う必要があります。

バイオニック読書はあなたをより速く読むことができますか?

バイオニック読書はあなたをより速く読むことができますか?

BionicReadingアプリの人気が爆発的に高まっています。しかし、それは本当にあなたを速読術にすることができますか?

ドミニカのボイリング湖:アクセスは簡単ではありませんが、ハイキングする価値があります

ドミニカのボイリング湖:アクセスは簡単ではありませんが、ハイキングする価値があります

ドミニカのボイリング湖は、世界で2番目に大きいボイリング湖です。そこにたどり着くまでのトレッキングは大変で長いですが、努力する価値は十分にあります。

私たちの水をきれいに保つのを助けるためにあなたの髪を寄付してください

私たちの水をきれいに保つのを助けるためにあなたの髪を寄付してください

サロンからのヘアトリミングや個人的な寄付は、油流出を吸収して環境を保護するのに役立つマットとして再利用できます。

ホワイトハウスの最も記憶に残る結婚式を見てください

ホワイトハウスの最も記憶に残る結婚式を見てください

過去200年以上の間にホワイトハウスで結婚したのはほんの数人です。彼らは誰でしたか、そしてそこで結婚式を獲得するために何が必要ですか?

ねえNFL、ジョーバロウとカイラーマレーは女性の権利をサポートするために少しの助けを使うことができます

ねえNFL、ジョーバロウとカイラーマレーは女性の権利をサポートするために少しの助けを使うことができます

ジョー・バロウロー対ウェイド事件の転覆に対応するNFLは、言葉を言わないことで、腹立たしいが予測可能なPRの結果でした。

別の日、別のヒンジのないLIV記者会見

別の日、別のヒンジのないLIV記者会見

(lから)パット・ペレス、ブルックス・ケプカ、パトリック・リードサウジアラビアのLIVゴルフリーグのさらに別の信じられないほどの記者会見で、スポーツのファンはブルックス・ケプカからでたらめな吐き気と質問回避の驚異的なマスタークラスを受けました。パトリックリード、ブライソンデシャンボー、パットペレス、最近のPGAツアーの脱北者。

ミズ・マーベルの家族の帰郷は悪役よりも激しく打撃を与える

ミズ・マーベルの家族の帰郷は悪役よりも激しく打撃を与える

レッドダガーとマーベルさんがチームを組んでいます。

6億7500万ドルのビットコインローンのデフォルト後にすべての資産を清算するように命じられたスリーアローズキャピタル

6億7500万ドルのビットコインローンのデフォルト後にすべての資産を清算するように命じられたスリーアローズキャピタル

暗号業界最大の沈没船の1つであるスリーアローズキャピタルは、ついにその悲惨さから解放されています。火曜日に、不良債権ヘッジファンドは、債権者からの返済を要求する訴訟の高まりに応えて、バージンアイランド裁判所によって清算を命じられました彼らが3ACに行ったローン。

Zendaya Wishes Boyfriend Tom Holland Happy Birthday with Cuddly Photo: He 'Makes Me the Happiest'

Zendaya Wishes Boyfriend Tom Holland Happy Birthday with Cuddly Photo: He 'Makes Me the Happiest'

Zendaya shared a sweet photo in honor of boyfriend Tom Holland's 26th birthday Wednesday

小さな女性:脳卒中を患った後に病院から解放されたアトランタのジューシーな赤ちゃん:「まだ癒し」

小さな女性:脳卒中を患った後に病院から解放されたアトランタのジューシーな赤ちゃん:「まだ癒し」

シーレン「Ms.JuicyBaby」ピアソンは、先月脳卒中で入院した後、「もう一度たくさんのことをする方法を学ばなければならない」ため、言語療法を受けていることを明らかにしました。

エマストーンは彼女のクリフサイドマリブビーチハウスを420万ドルでリストアップしています—中を見てください!

エマストーンは彼女のクリフサイドマリブビーチハウスを420万ドルでリストアップしています—中を見てください!

オスカー受賞者の世紀半ばの家には、3つのベッドルーム、2つのバス、オーシャンフロントの景色があります。

ジーニー・メイ・ジェンキンスは、母乳育児の経験の中で、彼女は「本当に、本当に落ち込んでいる」と言います

ジーニー・メイ・ジェンキンスは、母乳育児の経験の中で、彼女は「本当に、本当に落ち込んでいる」と言います

ジーニー・メイ・ジェンキンスは、生後4か月の娘、モナコに母乳育児をしていると語った。

Suffragettes Indicam #3: Junho

Suffragettes Indicam #3: Junho

Mais um mês se findando — e metade do ano de 2022 já passou. Sabe o que isso significa? Não, não é hora de verificar se você está cumprindo com suas resoluções de Ano Novo.

多元宇宙—Junø

多元宇宙—Junø

チェーン間アカウントがJunoに登場します。異なるブロックチェーン間でスマートコントラクトの構成可能性と真の相互運用性を提供します。

#brand【ベター・コール・ソール!アメリカのテレビシリーズ「ブレイキング・バッド」に最高のビジネス例が隠されている】・・・ルールクリエイティブ

#brand【ベター・コール・ソール!アメリカのテレビシリーズ「ブレイキング・バッド」に最高のビジネス例が隠されている】・・・ルールクリエイティブ

1.ドラマを見た後、起業する考えはありますか?あなたのビジネスはボトルネックに遭遇しましたか?方向性がなくてわからない場合は、ドラマを追いかけて行くことを心からお勧めします。(?)ブラフではなく、最も完璧なビジネス例を隠すドラマがあります。2.ブレイキング・バッドとその弁護士ドラマ「ブレイキング・バッド」を見た友人たちは、演劇の中で、穏やかな表情で、弁護士のソウル・グッドマンに深く感銘を受けなければなりません。口を開けて、感覚の弱い傭兵の性格を持っています。道徳の面で、サル・グッドマンは無意識のうちに劇に欠かせない役割を果たし、彼自身のシリーズ「絶望的な弁護士」(ベター・コール・ソール)を生み出しました。ウェントウのテキストとビデオは、劇中のソウル・グッドマンのテレビコマーシャルです。製品(サービス)、競争戦略、市場ポジショニング、ブランド名、ターゲット顧客グループ、コミュニケーション軸から広告まで、サル・グッドマンの役割のビジネス設定は、「最低」と見なすことができる超超超超超超完全です。ブランドコミュニケーションのコスト」「変化」のモデル。なぜ?私の分析をご覧ください。3.ソウル・グッドマンの「事業戦略」1.基本情報ブランド名:Saul Goodman製品:法律相談サービス対象顧客:麻薬中毒、飲酒運転、事故など。法律知識の欠如は、一般的に公立弁護士にしか余裕がなく、真面目な弁護士も「特別な法律を持つ消費者」を避けます。恐れてはいけない「​​ニーズ」。コミュニケーションの主軸:この国のすべての男性、女性、子供は有罪判決を受けるまで無実だと思います。地域:アルバカーキ市スローガン:Thrallに電話したほうがいいです!(ベター・コール・ソール)広告:2つの可能性のある犯罪状況をシミュレートします+サウルの主張+サウルのスローガン2をより適切に呼び出します。

メインネットガイド— Arbitrum Odyssey Week 2

メインネットガイド— Arbitrum Odyssey Week 2

最新のアップデートを受け取るために私たちに従ってください。ニュースレター:https://www。

Language