行列トレースの不等式の証明

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user401582 2018-07-10 02:34.

仮定します $A$ そして $B$両方とも同じサイズの正の半定値行列です。次の不等式を証明します。\begin{align} \text{Tr}((A^{1/2} B A^{1/2})^{1/2}) \geq \text{Tr}(A^{1/2}B^{1/2}), \end{align} ここで、PSD行列の平方根は、PSD行列でもある主平方根として定義されます。

明らかに、平等は次の場合に成り立ちます。 $A$ そして $B$ 通勤。

2 answers

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user1551 2018-07-11 00:58.

これは、次のような不等式に起因します。 $\operatorname{tr}\left((XX^\ast)^{1/2}\right)\ge|\operatorname{tr}(X)|$。しましょう$X=PU$の極分解である$X$、 どこ $P$ 正の半定値であり、 $U$ユニタリです。その後、不等式は次のように減少します。$\operatorname{tr}(P)\ge|\operatorname{tr}(PU)|$、ユニタリ行列のすべての対角要素が係数を持っているため、これは明らかに真実です。 $\le1$。

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Jalex Stark 2018-07-10 10:17.

ヒント:もし $X$ psdの場合、 $(\mathrm {Tr}\, X)^2 \geq \mathrm{Tr}\, X^2$。上記をの固有値の関数と見なすと、これは基本的な不等式によって証明できます。$X$。

あなたの不平等は、適切な選択から生じます $X$。

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