ステートメントとその否定の両方が正しくないのはいつですか?

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Doubt 2018-07-04 11:32.

Chiswellの理論理学では、演習の1つは、次のステートメントが反例を認めていることを示すことです。

もし $\Gamma\vdash(\phi\lor\psi)$ 正しいシーケンシャルであり、少なくとも1つは $\Gamma\vdash\phi$ そして $\Gamma\vdash\psi$ も正しいです。

この演習のヒントは、両方の例を見つけることを示唆しています $\vdash p$ そして $\vdash(\neg p)$正しいシークエントではありません。しかし、この最後の部分でさえ私を困惑させます。なぜなら、文脈を考えると、基本的な数学からの反例を与えることが期待されているからです。

私の質問は:両方が両方である簡単な例は何ですか $\vdash p$ そして $\vdash(\neg p)$ 正しいシークエントではありませんか?

2 answers

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Mauro ALLEGRANZA 2018-07-05 20:50.

参照:Chiswell and Hodges、7ページ:

私たちはその後を読みます $(Γ \vdash ψ)$ なので "$Γ$ を伴う $ψ$"。その後の手段

その結論がである証拠があります $ψ$ そして、その未放電の仮定はすべてセットに含まれています $Γ$

それが本当であるとき、我々はsequentが正しいと言います。セット$Γ$ 空にすることができます。その場合、次のように記述します。 $(\vdash ψ)$; このシーケンシャルは、次の証拠がある場合にのみ正しいです。$ψ$ 放電されていない仮定はありません。

両方とも $p$ そして $\lnot p$ 健全な微積分では仮定なしでは導出できません。 $p$ は命題文字です。これは文を表します。したがって、常にFALSEステートメントで解釈できます。

そして同じ $\lnot p$

したがって:

$\nvdash p \text { and } \nvdash \lnot p$

しかし、問題は以下を求めています: $\Gamma \vdash (\phi \lor \psi)$

ケースを考えてみましょう: $\Gamma = \{ p \lor \lnot p \}$

私たちは明らかに持っています:

$p \lor \lnot p \vdash p \lor \lnot p $

だが :

$p \lor \lnot p \nvdash p \text { and } p \lor \lnot p \nvdash \lnot p$


「実世界」の例:確かに、「雨が降っている、または雨が降っていない」というのは本当です。

しかし、次の明らかな事実から:(雨が降っている、または雨が降っていない)場合、雨が降っていることも、雨が降っていないことも推測できません。

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Doug Spoonwood 2018-07-04 19:37.

不思議なことに、私は数年前にここに置いた同様の質問に対する答えを読みました。これはここにも当てはまります。答えはどこにあるのかわかりませんが。

$\Gamma$数式のセットは正しいでしょうか?だから、$\Gamma$すべてのトートロジーのセットです。さて、あなたはいくつかを罰することができます$\phi$ いくつかの $\psi$ ここで、Γ⊢(ϕ∨ψ)は成り立ちますが、Γ⊢ϕもΓ⊢ψも成り立ちませんか?

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