ディストリビューションの拡張

Gonzalo Benavides 2018-07-02 11:44.

しましょう $\Omega \subseteq \mathbb R^n$ 開いた凸集合であり、 $T \in D'(\Omega)$。延長することは可能ですか$T$ のディストリビューションに $D'(\mathbb R^n)$？

私はいくつかのテキストを探してきました（Rudinと https://www.math.u-psud.fr/~ramond/docs/cours/distributionsedp.pdf）しかし、私は何も見つかりませんでした。

functional-analysis distribution-theory

1 answers

paul garrett 2018-07-02 11:48.

（編集:)はい、いいえ。例えば、$u=\sum_{n=1}^\infty \delta_{1/n}$ 開区間での完全に細かい分布です $(0,1)$、ただし_by_that_formula_を拡張しません。ただし、拡張機能はあります。したがって、これにより、拡張機能の追加機能が本当に必要かどうかという問題が発生する可能性があります...

編集、ここで私は意味します $\delta_a(\varphi)=\varphi(a)$、ディラックのデルタ。

編集-編集：テスト機能があります $\varphi$ オン $\mathbb R$ その合計が収束しない場合： $\varphi$ と $\varphi(0)\not=0$、ただし $\varphi$ のテスト機能 $(0,1)$ そのサポートは必然的にコンパクトであり、 $0$、したがって、示された合計は有限です（さらに、関連するトポロジーの連続性を証明できます）。

EDIT-EDIT-EDIT：そして、@ Bobがコメントで述べたように、示された式が何か発散するものを与えるという単なる事実は、拡張がまったくないことの完全な証拠ではありません。実際、私の主張する例はこの点で失敗します。$\lim_N \sum_{n=1}^N (\delta_{1/n}-\delta_{-1/n}$ コーシーの主値積分という通常の理由により、与えられた分布を拡張します $\lim_N \int_{|x|>1/N} {f(x)\over x}\;dx$ 収束します。そのことについては、分布 $1/|x|^s$ そして ${\mathrm sgn}(x)/|x|^s$ 文字通りではありません $L^1$ ために $\Re(s)>> 1$、しかし、それにもかかわらず、有理型の継続があります。

わかりました、それでも、（驚くことではない）答えは、いいえ、すべてが均一性の程度などの合理的な方法で拡張されるわけではないということです。

しかし、はい、いくつかの部分空間での連続線形汎関数$W$ スペースの $V$ すべてのテスト関数（部分空間トポロジーを使用）の中で、クロージャーへの連続性によって一意に拡張されます $\overline{W}$ の $W$。次に、ハーン-バナッハを使用して、テスト関数の空間全体に（ランダムに...）拡張します。

したがって、これ以上の条件がなくても、すべてが拡張されますが、必ずしも有用または満足のいく方法であるとは限りません。

たとえば、次の拡張を要求した場合 $u(\varphi)=\int_{\mathbb R} {\varphi(x)\over x}\;dx$ また、同質性を維持している場合、ディラックの存在のために、そのようなものはないことがわかります（蛇の補題またはその議論のアドホックな要約のいずれかを介して...） $\delta$、および長い完全系列。

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