基底から正規直交等価基底への基底行列の変更

Limitless 2018-06-21 02:03.

しましょう $B_1 = \{v_1, v_2, v_3\} $ の基礎となる $\mathbb R^3$

しましょう $B_2 = \{o_1, o_2, o_3\}$ でグラムシュミットアルゴリズムを実行した後、正規直交基底になる $B_1$

しましょう $$ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} $$

できる $P$ からの基底行列の変更である $B_1$ に $B_2$？

それは少しトリッキーな感じがして、私はこの質問にアプローチする方法を理解することができませんでした...どんな助けも大いに感謝します！

linear-algebra linear-transformations orthonormal change-of-basis gram-schmidt

1 answers

Sigurd 2018-06-21 03:13.

はい、これは可能です。まず、次のことに注意してください$P$は可逆であるため、列は線形独立です。これは必要です。これが当てはまる例を作成してみましょう。恒等変換を伴う標準の「ベースダイアグラムの変更」を使用すると、すべてのベクトルについて次の式を取得できます。$x \in \mathbb{R}^3$： $$ Id_{B_1}^{B_2} \cdot co_{B_1}(x) = co_{B_2}(x). $$ 今使用する場合 $x = v_1, x=v_2, x=v_3$ それぞれ、およびマトリックスを使用して $P = Id_{B_1}^{B_2}$ あなたが提供したもの、私たちは以下を取得します： \begin{align*} Id_{B_1}^{B_2} \cdot e_1 = co_{B_2}(v_1) = [1,2,2]^\top \\ Id_{B_1}^{B_2} \cdot e_2 = co_{B_2}(v_2) = [0,3,0]^\top \\ Id_{B_1}^{B_2} \cdot e_3 = co_{B_2}(v_3) = [1,1,0]^\top \\ \end{align*} したがって、これは $$ \begin{cases} v_1 = o_1 + 2o_2 + 2o_3 \\ v_2 = 3o_2 \\ v_3 = o_1+o_2. \end{cases} $$ 次に、正規直交基底を選択します。たとえば、選択します。 $\{o_1,o_2,o_3\} = \{e_1,e_2,e_3\}$。次に、私たちが得る式に従って$$ v_1 = [1,2,2]^\top, v_2 = [0,3,0]^\top, v_3 = [1,1,0]^\top. $$ これがの基礎であることを確認できます $\mathbb{R}^3$ そして、ベースの変更のためのマトリックス $\{v_1,v_2,v_3\}$ に $\{o_1,o_2,o_3\}$ によって与えられます $P$。例として、ベクトルを考えてみましょう$$ x = [3,14,4]^\top $$ これは持っています $co_{B_1}(x) = [2,3,1]^\top$。今、私たちは乗算します$P$、これは確かに与えます $$ P \cdot co_{B_1}(x) = [3,14,4]^\top = co_{B_2}(x) $$

Japanese Spanish German

MORE COOL STUFF

メーガン・マークルは、自然な髪のスタイリングをめぐってマライア・キャリーと結ばれました

メーガン・マークルとマライア・キャリーが自然な髪の上でどのように結合したかについて、メーガンの「アーキタイプ」ポッドキャストのエピソードで学びましょう.

2022-12-23.

ハリー王子は家族との関係を修復できるという「希望を持っている」：「彼は父親と兄弟を愛している」

ハリー王子が家族、特にチャールズ王とウィリアム王子との関係について望んでいると主張したある情報源を発見してください。

2022-12-17.

ワイノナ・ジャッドは、パニックに陥った休暇の瞬間に、彼女がジャッド家の家長であることを認識しました

ワイノナ・ジャッドが、母親のナオミ・ジャッドが亡くなってから初めての感謝祭のお祝いを主催しているときに、彼女が今では家長であることをどのように認識したかを学びましょう.

2022-12-09.

セントヘレナのジェイコブのはしごを登るのは、気弱な人向けではありません

セントヘレナ島のジェイコブズラダーは 699 段の真っ直ぐ上る階段で、頂上に到達すると証明書が発行されるほどの難易度です。

2022-09-08.

バレリー・ジャレットは類人猿と呼ばれ、ロザンヌ・バーは仕事を失いましたが、ここでの本当の犠牲者はトランプです

ロザンヌ・バーが自分自身でいるだけでABCショーの再起動を破壊するのに、60日強かかりました。ロザンヌは、ツイッターで帽子をかぶったトロールであり、白人至上主義者に傾倒し、陰謀論者を愛する「Make AmericaGreatAmerica」であり続けています。

2023-03-31 17:10.

「警察官」を使用して、ビジネス会議をトピックに保つ

仕事の打ち合わせをしていると、招待される人が多ければ多いほど、全体が狂いやすくなります。そのため、すべての打ち合わせには、話題を維持するための打ち合わせ「警察」が必要です。全員が集まって話し合う間今週終了する大きなプロジェクトについては、必然的に誰かが「私たちはみんなここにいるので…」と決めるでしょう。数週間後に起こっている別のプロジェクトを立ち上げるのは良い考えです。コーヒーメーカーはどうしたの？壊れていますか？そして、ジョンの新しい子犬を見たことがありますか？会話を中断して、10分間写真を見てみましょう。

2023-03-31 17:09.

ドレイク、ネコケース、そしてカニエの大洪水：6月の38の最も期待されたアルバム

5月のリリースの特に強力なラインナップに続いて、6月はNeko Case、Nas、Lykke Li、Gang Gang Danceから待望のリターンをもたらし、Drake、Oneohtrix Point Never、Zeal＆Ardourからの期待された努力とSnailMailからの有望なデビューをもたらしますとジュリアーナドーティ。ヒップホップでは、間違いなくカニエの月であり、ラッパープロデューサーは毎週少なくとも1回のリリースに関与しています。

2023-03-31 17:08.