基底から正規直交等価基底への基底行列の変更

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Limitless 2018-06-21 02:03.

しましょう $B_1 = \{v_1, v_2, v_3\} $ の基礎となる $\mathbb R^3$

しましょう $B_2 = \{o_1, o_2, o_3\}$ でグラムシュミットアルゴリズムを実行した後、正規直交基底になる $B_1$

しましょう $$ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} $$

できる $P$ からの基底行列の変更である $B_1$ に $B_2$?

それは少しトリッキーな感じがして、私はこの質問にアプローチする方法を理解することができませんでした...どんな助けも大いに感謝します!

1 answers

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Sigurd 2018-06-21 03:13.

はい、これは可能です。まず、次のことに注意してください$P$は可逆であるため、列は線形独立です。これは必要です。これが当てはまる例を作成してみましょう。恒等変換を伴う標準の「ベースダイアグラムの変更」を使用すると、すべてのベクトルについて次の式を取得できます。$x \in \mathbb{R}^3$: $$ Id_{B_1}^{B_2} \cdot co_{B_1}(x) = co_{B_2}(x). $$ 今使用する場合 $x = v_1, x=v_2, x=v_3$ それぞれ、およびマトリックスを使用して $P = Id_{B_1}^{B_2}$ あなたが提供したもの、私たちは以下を取得します: \begin{align*} Id_{B_1}^{B_2} \cdot e_1 = co_{B_2}(v_1) = [1,2,2]^\top \\ Id_{B_1}^{B_2} \cdot e_2 = co_{B_2}(v_2) = [0,3,0]^\top \\ Id_{B_1}^{B_2} \cdot e_3 = co_{B_2}(v_3) = [1,1,0]^\top \\ \end{align*} したがって、これは $$ \begin{cases} v_1 = o_1 + 2o_2 + 2o_3 \\ v_2 = 3o_2 \\ v_3 = o_1+o_2. \end{cases} $$ 次に、正規直交基底を選択します。たとえば、選択します。 $\{o_1,o_2,o_3\} = \{e_1,e_2,e_3\}$。次に、私たちが得る式に従って$$ v_1 = [1,2,2]^\top, v_2 = [0,3,0]^\top, v_3 = [1,1,0]^\top. $$ これがの基礎であることを確認できます $\mathbb{R}^3$ そして、ベースの変更のためのマトリックス $\{v_1,v_2,v_3\}$ に $\{o_1,o_2,o_3\}$ によって与えられます $P$。例として、ベクトルを考えてみましょう$$ x = [3,14,4]^\top $$ これは持っています $co_{B_1}(x) = [2,3,1]^\top$。今、私たちは乗算します$P$、これは確かに与えます $$ P \cdot co_{B_1}(x) = [3,14,4]^\top = co_{B_2}(x) $$

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