ねじれのない冪零群のより低い中心的要因はねじれのないですか?

2
Michal Ferov 2018-06-06 23:21.

しましょう $G$ (残りの)ねじれのない冪零群になり、 $\gamma_i(G)$ を示す $i$-中央下のシリーズの第3項、すなわち $G_1 = G$ そして $\gamma_{i+1}(G) = [G, \gamma_i(G)]$。

商は $G/\gamma_i(G)$ ねじれのない?

2 answers

5
Dietrich Burde 2018-06-06 23:28.

いいえ、これは真実ではありません。ねじれのない冪零群があり、その非現実化は$G/\gamma_2(G)=G/[G,G]$ 持っている $p$-すべての素数のねじれ $p$。確かに、$G$ 整数行列行列群の中心積である $UT(3,\Bbb{Z})$ と $\Bbb{Q}$、前者の中心はのコピーで識別されます $\mathbb{Z}$後者では。次に、$G$ ねじれはありませんが、 $\gamma_2(G)$ 同型です $\mathbb{Z}$、および $G/[G,G]$ 同型です $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$。これは持っています$p$-すべての素数のねじれ $p$。

7
YCor 2018-06-06 23:30.

拡張コメント:中央下部のシリーズが中央上部のシリーズに置き換えられた場合、質問(「残り」なし)には肯定的な答えがあります。確かに、それは次の場合にそれを示すことになります$G$ ねじれのない冪零であり、 $Z$ その中心は $G/Z$ねじれがありません。同等にこれはそれを意味します$g^n$ 中央、 $n\ge 1$ 意味する $g$中央。これは、より一般的な結果から得られます($\sharp$):ねじれのない冪零群では、 $g$ との $g^n$ どれでも同じです $g$ および任意の $n\ge 1$。

確かに、($\sharp$)私たちはそれを推測することができます $G$有限に生成されます。その後$G$ 標数ゼロの体上の単元上三角行列に埋め込まれるため、 $g$ によって生成されたサブグループのZariskiクロージャに属します $g^n$。特に、それらは同じセントラライザーを持っています。

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