円錐曲線のアフィン特性

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Phil. Z 2018-06-01 21:48.

最近、円錐曲線に関する本を読んで、followinbgが興味深い問題であることがわかりました。 $\Gamma$ 平面上の楕円になり、 $F_1,F_2$ の焦点になります $\Gamma$。ポイントを与えられた$P\in \Gamma$、 $A_i$ の別の交差点になります $PF_i$ と $\Gamma$、 $i=1,2$。次に、著者はその価値が$$\left|\frac{PF_1}{A_1F_1}\right|+\left|\frac{PF_2}{A_2 F_2}\right|$$ 曲線のみに依存する定数です $\Gamma$、そして実際にはに等しい $\dfrac{2+2e^2}{1-e^2}$、 どこ $e$ の離心率を表します $\Gamma$。著者は、証明は重要な観察に依存していると述べました$1/PF_i+1/A_iF_i$は定数ですが、詳細な証明は提供されていません。今ここに私の質問があります:

  1. 私自身、非常に醜いように見える計算証明を見つけました。円錐曲線の調和理論に基づいて、もっと概念的でエレガントなものが存在するはずだと思いますが、それが正確に何であるかはわかりません。

  2. 概念的な証拠の存在の別の証拠は、プロパティが「$1/AF+1/PF$ 定数です」は、任意の円錐曲線と任意の弦に当てはまるようです $AP$ 焦点を通過する $F$。しかし、一般的な事実を証明する方法は?

前もって感謝します!

1 answers

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Intelligenti pauca 2018-06-01 23:35.

円錐曲線の半緯度直腸が任意の焦点弦のセグメント間の調和平均であることはよく知られている特性です(たとえば、以下を参照してください)。 https://archive.org/details/c00ourseofpuregeomaskwrich)。楕円の場合、半緯度直腸は次の式で与えられます。$b^2/a$、 どこ $a$ そして $b$、いつものように、楕円の半軸です。したがって:$$ {1\over PF_1}+{1\over AF_1}={2a\over b^2}, \quad\text{that is:}\quad {PF_1\over AF_1}={2a\over b^2}PF_1-1, \quad\text{and:}\quad {PF_2\over AF_2}={2a\over b^2}PF_2-1. $$ 最後の2つの等式から、 $$ {PF_1\over AF_1}+{PF_2\over AF_2}={2a\over b^2}(PF_1+PF_2)-2={4a^2\over b^2}-2. $$ それを考慮に入れる $e^2=1-b^2/a^2$ その後、与えられた結果を得ることができます。

編集。

ここでAskwithの証明を再現します。これは、どの円錐曲線でも機能するので注目に値します。しましょう$S$ 焦点を当てて $RXM$ 円錐曲線の関連する母線、 $PQ$ フォーカルコード、 $SL$半緯度直腸(図を参照)。直接母線の定義により、私たちはそれを知っています$$ {PS\over PM}={QS\over QR}={LS\over SX}=e\quad \text{(eccentricity of the conic section).} $$

その後、次のようになります。 $$ {1\over PS}+{1\over QS}={1\over e}\bigg({1\over PM}+{1\over QR}\bigg)= {1\over LS}\bigg({SX\over PM}+{SX\over QR}\bigg)= {1\over LS}\bigg({PM-SN\over PM}+{QR+KS\over QR}\bigg), $$ あれは: $$ \tag{1} {1\over PS}+{1\over QS}= {1\over LS}\bigg(2-{SN\over PM}+{KS\over QR}\bigg). $$ しかし、その一方で: $$ {SN\over PM}=e{SN\over PS}=e{KS\over QS}={KS\over QR}. $$ したがって、方程式の最後の2つの項は $(1)$ キャンセルすると、 $$ {1\over PS}+{1\over QS}= {2\over LS}, $$ それが証明されることになっていたので。

この証明は、次の場合に少し変更する必要があります $P$ そして $Q$ 双曲線の反対側の枝にあります。

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