ジョルダン測度とリーマン積分

Alessandro Pecile 2018-05-20 09:38.

私はリーマン積分を研究していますが、リーマン積分の概念とジョルダン測度の関係が何であるかを理解していません。リーマン積分はジョルダン測度の特別な場合ですか？ジョルダン測度の正確な定義は何ですか？誰が私を助けてくれるのか本当にありがとう！

real-analysis analysis measure-theory

1 answers

rubikscube09 2018-05-20 13:51.

有界サブセットについてはそれを思い出してください $A$ の $\mathbb{R}^d$、ジョーダンの上限近似を次のように定義します。

$$J^{R_n}(A) = \sum_{R_n \cap A} \mathrm{Vol}(R_n)$$

ここでは、インデックスは交差するすべての長方形に適用されます $A$。どこ$R_n$ 長方形の有限集合です $R$ それはカバーします $A$。これが上位近似と呼ばれる理由がわかります。セットを、それよりも質量が大きい可能性のあるものでカバーします。あなたは余分な質量を得るが、あなたも見逃すことはない。最後に、これの上限近似を見つけるために、カバーをどんどん小さくして制限を取ります。つまり、次のように定義します。

$$ J^* (A) = \inf\{J^{R_n}(A) : R_n \text{ is a finite rectangle cover of $A$}\} $$ 同様に、より低い近似を次のように定義します。 $$ J_{R_n}(A) = \sum_{R_n \subset A} \mathrm{Vol}(R_n) $$ここで、各長方形はサブセットです。だから今、私たちは内側からサイズを測定しているので、実際のサイズは、私たちが連続してより大きなボリュームをとったときに得られるものでなければなりません、すなわち：

$$ J_* (A) = \sup\{J_{R_n}(A) : R_n \subset A\} $$

ジョルダン測度は次の場合に定義されます。 $$ J^* (A) = \inf\{J^{R_n}(A) : \{R_n\}_{n=1}^{N} \text{ is a finite rectangle cover of $A$}\} = J_* (A) = \sup\{J_{R_n}(A) : \{R_n\}_{n=1}^{N}\subset \mathcal{P}(A), \text{i.e. each } R_n \subset A\} $$つまり、下限の近似値が上限の近似値と同じ限界に収束する場合です。今すぐ試して、セットの体積を計算する方法を見てみましょう$A$ 統合を通じて。

セットのインジケーター関数を定義します $\mathbf{1}_A$ なので： $$ \mathbf{1}_A = \begin{cases}1 & x\in A \\ 0 & x \not \in A \end{cases} $$この関数は、ポイントがセット内にあるかどうかを「示します」。したがって、統合に関するセットのボリュームの自然な定義は次のとおりです。$$ \mathrm{vol}(A) = \int_{R} \mathbf{1}_A(x) \mathrm{d} x $$ どこ $R$ を含む長方形です $A$ （なので $A$有界です）。これは、積分が収束する場合に当てはまります。今それを示しましょう$A$ ジョルダン測度可能である場合、この積分は収束し、その値はジョルダン測度が何であれ $A$です。まず、積分の上限と下限の合計を取りましょう。パーティションの上限の合計を思い出してください$P$ 私たちのドメインの $R$ と私たちの機能 $\mathbf{1}_A$ （切断 $R$ より小さな長方形に）は次のように与えられます： $$ U(\mathbf{1}_A, P) = \sum_{n} \sup_{x \in R_n} \mathbf{1}_A (x)\mathrm{Vol}(R_n) $$ 低い合計は次の式で与えられます。 $$ L(\mathbf{1}_A, P) = \sum_{n} \inf_{x \in R_n} \mathbf{1}_A (x)\mathrm{Vol}(R_n) $$ 私たちの関数の定義によって注意してください $\mathbf{1}_A$、いくつかのことが起こる可能性があります。長方形の場合$R_n$ 私たちのパーティションには、 $R_n \subset A$、その後 $\inf_{x \in R_n} \mathbf{1}_A = 1$、のすべてのポイントが $R_n$ にあります $A$ したがって、インジケーター機能は $1$どこにでも。同様に、長方形の1つが表示された場合$R_n$ 交差する $A$、その後 $\sup_{x \in R_n} \mathbf{1}_A(x) = 1$、最大値は $1$そしてそれは達成されます。したがって、リーマン和を次のように書き直すことができます。$$U(\mathbf{1}_A, P) = \sum_{R_n \cap A}\mathrm{Vol}(R_n) = J^{R_n}(A)$$ そして、より低い合計についても同様です。
$$ L(\mathbf{1}_A, P) = \sum_{R_n \subset A}\mathrm{Vol}(R_n) = J_{R_n}(A) $$ したがって、のインジケーター関数の積分の上下のリーマン和 $A$ヨルダンの上下の合計です！したがって、上部リーマン和のinfであるため、上部リーマン和のinfが存在することがわかります。これは、下部リーマン和の場合も同様です。したがって、セットのジョルダンコンテンツは、そのセットのインジケーター関数のリーマン積分です。

これは少し長い説明でしたので、何か説明が必要な場合はお知らせください。

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