ホモロジー関手は直接制限で通勤します

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Mojtaba 2017-03-07 19:46.

しましょう $(X_i,\phi_i^j)$ トポロジー空間の有向システムであり、その直接の限界は $(X,\phi_i)$ $$\lim_{\rightarrow}(X_i,\phi_i^j)=(X,\phi_i)$$ 以来 $H_n$ (($n^{th}\, homology \,\,group$ )はファンクターなので $(H_n(X_i),(\phi_i^j)_*)$ は、次のようなアーベル群の圏の有向システムです。 $(\phi_j)_*(\phi_i^j)_*=(\phi_i)_*$ すべてのための $i\leq j$。群の圏のすべての有向システムには直接制限が存在することを私は知っています。$$\lim_{\rightarrow}(H_n(X_i),\phi_{i^j_*})=(G,f_i)$$ そして、直接限界の定義によって、そこに独特の準同型が存在します $$h:G\rightarrow H_n(X)$$ そのような $\phi_{i_*}=h(f_i)$すべての私のために。
見せたら$h$ は同型です $$H_n(\lim_{\rightarrow}(X_i,\phi_i^j))\cong\lim_{\rightarrow}\left(H_*(X_i),(\phi_i)_*\right)$$ 誰かの体が私が全単射を証明するのを助けることができますか $h$?

2 answers

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Eric Wofsey 2017-03-07 19:59.

それは真実ではありません $h$一般に同型です。たとえば、$X=S^1$ のすべての可算部分空間の有向システムを検討します $X$(包含マップ付き)。次に$X$ このシステムの直接の制限です(のサブセットが $X$順次閉じられる場合は閉じられます)。だが$H_1(X_i)=0$ それぞれについて $i$ システムでは、それぞれが $X_i$完全に切断されています。そう$$\lim_{\rightarrow}\left(H_1(X_i),(\phi_i)_*\right)=0$$ 一方、 $$H_1(\lim_{\rightarrow}(X_i,\phi_i^j))=\mathbb{Z}$$ このシステムのために。

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Pedro Tamaroff 2017-03-07 19:56.

トポロジー空間の有向システムは、複合体の有向システムを提供します $S_i = S(X_i)$ どこ $S$特異チェーンファンクターです。ただし、必ずしもそうとは限りません。$\varinjlim S_i = S$。この場合、次の一般的な考慮事項が適用されます。

任意の図を検討してください $I$、およびファンクター $\varinjlim : A^I \to A$。これは正確であり、標準写像があります

$$\theta : \varinjlim H(S_i) \to H(\varinjlim S_i)$$

これは同型ではないかもしれません。ただし、インデックスセットの場合$I$される指示ファンクタ、その後、$\varinjlim : A^I \to A$で、正確な、そして正確な「ファンクタは相同性で通勤」。もっと正確に言えば、地図があります

$$\psi : H(\varinjlim S_i)\to \varinjlim H(S_i)$$

これは逆です $\psi$。

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