積分演算子のガトー微分

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Akshay Shanker 2015-11-08 08:47.

しましょう $\Omega\subset \mathbb{R}$ 積分演算子を検討します $E\colon L^{2}(\Omega) \rightarrow \mathbb{R}$ によって与えられた

$E(u) = \int_{\Omega} F(u(x))\,dx$

にとって $u\in L^{2}(\Omega)$。仮定します$F\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 導関数があります $f$。他にどのような条件が必要ですか$E$ ガトー微分可能であるか、特定の方向に方向微分を持つこと $\psi \in L^{2}(\Omega)$?特に、それ以上の仮定なしに、Gateauxの微分可能性に関する[wiki] [1]の記事は、次のように導関数を与えます。

$E^{\prime}(u)(\psi) = \lim\limits_{\tau\rightarrow 0} \int_{\Omega}\int^{1}_{0}f(u+ \tau s \psi)\psi \,ds\,dx = \int_{\Omega} f(u)\psi\,dx = \langle f(u),\psi \rangle$

微積分の基本定理を使用して、差分商を内部積分として記述した場合。しかし、必要な積分内で限界を移動するようです$f$優収束定理を使用するための有界または何らかの成長条件。これは${necessarily}$本当ですか?または、制限やその他の条件なしで、ガトーの微分可能性を得ることができますか?$f$?特に心配です$f(u)\not\in L^{2}(\Omega)$。

以前の投稿で成長条件について話していることに注意してください。

ありがとう!

1 answers

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John Dawkins 2015-11-08 09:00.

十分条件はそれです $f$ 継続的で、せいぜい線形成長(すなわち $|f(x)|\le K(1+|x|)$)。連続性はおそらく弱まる可能性がありますが、成長条件は必要に近いようです。

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