微分方程式は開発不可能

1
Mohamed 2012-02-03 20:19.

べき級数で解が構築できないように見えるこの微分方程式を解こうとします $y''+(x+a/x^2+b)y=0$、 どこ $a$ そして $b$いくつかの正の実数です。助けてくれませんか?

4 answers

2
Przemo 2015-11-26 01:27.

この問題を詳細に解決して、ここでどのような問題が発生するかを示しましょう。仮設を挿入します$y(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty p_n x^{n+\alpha}$ODEに入力し、連続する累乗で係数をゼロに等しくします。\ begin {eqnarray} coeff @ x ^ {\ alpha-2}:&& p_0 \ alpha(\ alpha-1)+ a p_0 = 0 \\ coeff @ x ^ {\ alpha-1}:&& p_1( \ alpha + 1)\ alpha + a p_1 = 0 \\ coeff @ x ^ {\ alpha}:&& p_2(\ alpha + 2)(\ alpha + 1)+ a p_2 + b p_0 = 0 \ end {eqnarray}これは与える$\alpha = \frac{1}{2} \left( 1 \pm \sqrt{1- 4 a} \right)$ そして $p_1=0$ そして $p_2= -b p_0/(2 (2 \pm \sqrt{1- 4 a}))$。係数の漸化式は次のようになります。\ begin {equation} p_ {n + 2} \ left((n + 2 + \ alpha)(n + 1 + \ alpha)+ a \ right)+ p_n b + p_ { n-1} = 0 \ end {equation} for$n=1,2,\dots$。今、私たちは置き換えます$p_n \rightarrow p_{n+1}$ そして、次の漸化式が得られます。\ begin {equation} p_ {n + 3} = f_n \ left(b \ cdot p_ {n + 1} + p_n \ right)\ end {equation} for $n=1,2,3,\dots$ と $f_n := - ((n+2)(n+2 \pm\sqrt{1-4 a}))^{-1}$ との対象 $(p_1,p_2)= (1,0)$。この漸化式を見ると、解は変数の多項式であることがわかります。$b$。その多項式のすべての係数の閉じた形の式を見つけることは可能ですか?の与えられた値から始めることによって$n$ この方程式を2つのルールに従って逆伝播できます。最初に、長さ2または3のステップのみが許可され、次に2と3のステップに係数が割り当てられます。 $b$それぞれと団結。で表す$(i_l + l-1)$ の位置 $f_{n-2(i_l-1)-3 \cdot l}$-長さ3の動きに関連する要因。ここで$l=1,\dots,s$。残りのすべて$f$-係数は長さ2のステップに関連しています。バックプロパゲーションプロセスの最後に常に1をヒットする必要があるため、これにより次の制約が発生します。$n - 2(i_{s+1}-1) - 3 s= 1$。初期条件により、問題のすべての用語に割り当てられた指数は次のようになります。$i_{s+1}-1$。ここで2つのケースを考えてみましょう$n$ それぞれ偶数と奇数である場合、次の結果に簡単に到達します。 $n \notin 2 {\mathbb N}$、すなわち $n=2 m+1$。次に、次のようになります。\ begin {eqnarray} p_ {n + 3}&=&\ sum \ limits_ {j = 0} ^ {\ lfloor \ frac {m} {3} \ rfloor} b ^ {m-3 j} \ cdot \ sum \ limits_ {1 \ le i_1 \ le i_2 \ le \ dots \ le i_ {2 j} \ le m + 1-3j} \ left(\ prod \ limits_ {l = 1} ^ {2 j + 1} \ prod \ Limits _ {\ xi = 0} ^ {i_l-i_ {l-1} -1} f_ {n-2 \ cdot i_ {l-1} -3(l-1)-2 \ xi} \ right)\ cdot \ left(\ prod \ limits_ {l = 1} ^ {2 j} f_ {n-2 \ cdot(i_l-1)-3 l} \ right)\\&=&{\ mathcal C } _m \ sum \ limits_ {j = 0} ^ {\ lfloor \ frac {m} {3} \ rfloor} b ^ {m- 3 j} \ frac {(-1)^ {1-j + m}} {2 ^ {2(1 + j + m)}} \ pi ^ {2 j} \ sum \ limits_ {1 <i_1 <i_2 <\ dots <i_ {2 j} \ le m + 1- j} \ prod \ limits_ {l = 1} ^ {2 j} \ prod \ limits_ {p = \ pm} \ binom {\ frac {\ theta_p-n} {2} + \ frac {1} {2} l -2 + i_l } {\ frac {1} {2}} \ end {eqnarray} where \ begin {equation} {\ mathcal C} _m:= \ prod \ limits_ {p = \ pm} \ frac {(\ frac {\ theta_p- n} {2} -1)!} {(\ frac {\ theta_p-n} {2} + m)!} \ end {equation}同様に$n \in 2{\mathbb N}$、すなわち $n=2 m$。次に、次のようになります。\ begin {eqnarray} p_ {n + 3}&=&\ sum \ limits_ {j = 0} ^ {\ lfloor \ frac {(m-2)} {3} \ rfloor} b ^ {m --3 j-2} \ cdot \ sum \ limits_ {1 \ le i_1 \ le i_2 \ le \ dots \ le i_ {2 j + 1} \ le m-1- 3 j} \ left(\ prod \ limits_ { l = 1} ^ {2 j + 2} \ prod \ limits _ {\ xi = 0} ^ {i_l-i_ {l-1} -1} f_ {n-2 \ cdot i_ {l-1} -3( l-1)-2 \ xi} \ right)\ cdot \ left(\ prod \ limits_ {l = 1} ^ {2 j + 1} f_ {n-2 \ cdot(i_l-1)-3 l} \右)\\&=&{\ mathcal D} _m \ sum \ limits_ {j = 0} ^ {\ lfloor \ frac {(m-2)} {3} \ rfloor} b ^ {m- 3 j-2 } \ frac {(-1)^ {mj}} {2 ^ {2(1 + j + m)}} \ pi ^ {1 + 2 j} \ sum \ limits_ {1 <i_1 <i_2 <\ dots < i_ {2 j + 1} \ le m- j} \ prod \ limits_ {l = 1} ^ {2 j + 1} \ prod \ limits_ {p = \ pm} \ binom {\ frac {\ theta_p-n} {2} + \ frac {1} {2} l -2 + i_l} {\ frac {1} {2}} \ end {eqnarray} where \ begin {equation} {\ mathcal D} _m:= \ prod \ Limits_ {p = \ pm} \ frac {(\ frac {\ theta_p-n} {2} -1)!} {(\ frac {\ theta_p-n} {2} + m- \ frac {1} {2 })!} \ end {equation}および$\theta_\pm = (-2,-2 \pm \sqrt{1-4 a})$。これらの結果が正しいことを確認するために、簡単なMathematicaプログラムを作成しました。ここで最も興味深い部分があります。合計を行うことは可能ですか?$i$-分析的またはその他の方法での指標上記の結果は、変数内のある種の摂動結果にすぎません $b$。当分の間、この質問は開いたままにしておきます。

今、私たちはそれを仮定しましょう $0< b \ll 1$。次に、解は次のように明確になります。\ begin {equation} y(x)= y ^ {(0)}(x)+ y ^ {(1)}(x)b ^ 1 + O(b ^ 2)\ end {方程式}ここで、その展開の係数を分析します。

ゼロ次近似:

ここで、係数を選択します。 $b^0$。指数がゼロであるのは、最初に$n=2 m+1$ そして $m=3 \tilde{m}$ そして $j=\tilde{m}$ そして第二に $n=2 m$ そして $m=3\tilde{m}+2$ そして $j=\tilde{m}$。どちらの選択も$i_l=l+1$ ために $l=1,\dots,2 j$ 最初のケースでは $l=1,\dots,2 j+1$2番目のケースではそれぞれ。かなり単純な操作の後、次のようになります。\ begin {equation} p_ {n + 3} = \ frac {(-1)} {9 ^ {2 j}} \ prod \ limits_ {p = \ pm} \ frac {1} {(\ theta_p-1)} \ frac {1} {(\ frac {(4- \ theta_p)} {3})^ {(2 j)}} \ end {equation} for$n=2 m+1 = 6 j+1$ ために $j=0,1,2,\dots,$ および\ begin {equation} p_ {n + 3} = \ frac {(+ 1)} {9 ^ {2 j + 1}} \ prod \ limits_ {p = \ pm} \ frac {1} {(\ theta_p -1)} \ frac {1} {(\ frac {(4- \ theta_p)} {3})^ {(2 j + 1)}} \ end {equation} for $n=2 m=6 j+4$ ために $j=-1,0,1,2,\dots$。両方のケースを組み合わせると、次の解が得られます。\ begin {eqnarray} y ^ {(0)}(x)&=&\ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty p_ {6 j + 4} x ^ {6 j + 3 + \ alpha} + \ sum \ limits_ {j = -1} ^ \ infty p_ {6 j + 7} x ^ {6 j + 6 + \ alpha} \ nonumber \\&=&\ sum \ limits_ {j = -1} ^ \ infty \ frac {(-1)^ {j + 1}} {9 ^ j} \ left(\ prod \ limits_ {p = \ pm} \ frac {1} {(\ theta_p -1)} \ frac {1} {(\ frac {(4- \ theta_p)} {3})^ {(2 j + 1)}} \ right)\ cdot x ^ {3 j + 3 + \ alpha } \ nonumber \\&=&x ^ {\ frac {1} {2}(1 \ pm \ sqrt {1-4 a})} F_ {0,1} \ left [1 \ pm \ frac {1} {3} \ sqrt {1-4 a}; -\ frac {x ^ 3} {9} \ right] = {\ mathcal A} _ \ pm \ sqrt {x} J _ {\ pm \ frac {1} {3} \ sqrt {1- 4 a}} \ left(\ frac {2} {3} x ^ {3/2} \ right)\ end {eqnarray}ここで、${\mathcal A}_\pm = (\pm \frac{1}{3} \sqrt{1- 4 a})! 3^{\pm \frac{1}{3} \sqrt{1- 4 a}}$。

一次修正:

ここで、係数を選択します。 $b^1$。指数がゼロであるのは、最初に$n=2 m+1$ そして $m=3 \tilde{m}+1$ そして $j=\tilde{m}$ そして第二に $n=2 m$ そして $m=3\tilde{m}+3$ そして $j=\tilde{m}$。どちらの場合も$i_l=l+1+1_{l \ge \xi}$ ために $l=1,\dots,2 j$ そして $\xi=1,\dots,2 j+1$ 最初のケースでは $l=1,\dots,2 j+1$ そして $\xi=1,\dots,2 j+2$2番目のケースではそれぞれ。いくつかの操作の後、奇妙なケースが発生します:\ begin {eqnarray} p_ {n + 3} = \ frac {3 ^ 4} {4 ^ 4} \ frac {(-1)^ {4 j}} {9 ^ {2 j}} {\ mathcal D} ^ {o} _j \ cdot \ sum \ limits _ {\ xi = 1} ^ {2 j + 1}%\ prod \ limits_ {p = \ pm} %% \ frac { 1} {\ left(\ frac {1} {2}(-6 j + \ theta_p + 3 \ xi -6)\ right)^ {(2)}}%\ frac {\ left(\ frac {1} { 3}(-6 j + \ theta_p + 3 \ xi-4)\ right)!} {\ left(\ frac {1} {3}(-6 j + \ theta_p + 3 \ xi -9)\ right)!} \ end {eqnarray} for$n=2 m+1=6j+3$ ために $j=0,1,2,\dots$。同様に、次のようになります。\ begin {eqnarray} p_ {n + 3} = \ frac {3 ^ 4} {4 ^ 4} \ frac {(-1)^ {4 j + 1}} {9 ^ {2 j + 1}} {\ mathcal D} ^ {e} _j \ cdot \ sum \ limits _ {\ xi = 1} ^ {2 j + 2}%\ prod \ limits_ {p = \ pm}%\ frac {1} {\ left(\ frac {1} {2}(-6 j + \ theta_p + 3 \ xi -9)\ right)^ {(2)}} \ frac {\ left(\ frac {1} { 3}(-6 j + \ theta_p + 3 \ xi -7)\ right)!} {\ left(\ frac {1} {3}(-6 j + \ theta_p + 3 \ xi -12)\ right)!} \ end {eqnarray} for$n=2 m=6j+6$ ために $j=-1,0,1,2,\dots$。プリファクターは次のようになります。\ begin {eqnarray} {\ mathcal D} ^ {o} _j&:=&\ prod \ limits_ {p = \ pm}%\ frac {\ left(\ frac {1} {2}(- 6 j + \ theta_p-5)\ right)!} {\ left(\ frac {1} {2}(\ theta_p-1)\ right)!}%\ frac {\ left(\ frac {1} {2} (\ theta_p-3)\ right)!\ left(\ frac {1} {3}(-6 j + \ theta_p-3)\ right)!} {\ left(\ frac {1} {3}(\ theta_p-4)\ right)!\ left(\ frac {1} {2}(-6 j + \ theta_p-3)\ right)!} \\ {\ mathcal D} ^ {e} _j&:=&\ prod \ limits_ {p = \ pm }%\ frac {\ left(\ frac {1} {2}(-6 j + \ theta_p-8)\ right)!} {\ left(\ frac {1} {2}(\ theta_p-1)\ right )!}%\ frac {\ left(\ frac {1} {2}(\ theta_p-3)\ right)!\ left(\ frac {1} {3}(-6 j + \ theta_p-6)\ right)!} {\ left(\ frac {1} {3}(\ theta_p-4)\ right)!\ left(\ frac {1} {2}(-6 j + \ theta_p-6)\ right)!} \ end {eqnarray}解決策をまとめると、次のようになります。\ begin {equation} y ^ {(1)}( x)= \ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty p_ {6 j + 6} x ^ {6 j + 5 + \ alpha} + \ sum \ limits_ {j = -1} ^ \ infty p_ {6 j + 9} x ^ {6 j + 8 + \ alpha} = \ dots \ end {equation}

1
Fabian 2012-02-04 06:10.

微分方程式 $$y''+ \left(x+ \frac{a}{x^2}+b \right)y=0$$ に通常の特異点があります $x=0$。このような場合、べき級数解を構築できるとは限りません。ただし、フォームの解決策を見つけることは常に可能です$$y = x^\alpha p(x)$$ と $\alpha \in \mathbb{C}$ そして $p(x) = \sum_{n=0} p_n x^n$。

0
Przemo 2015-12-03 19:17.

この方程式を解く別の方法は、パラメーターの級数展開です。 $b$。私たちはそれを知っています$b=0$2つの独立した解は、級数展開法によって簡単に見つけることができます。これらの解はベッセル関数に関連しています。したがって、解全体が次のようになると仮定します。\ begin {equation} y(x)= \ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty b ^ jy ^ {(j)}(x)\ end {equation} Weを呼び出す$j=0$ 基本的なソリューションと機能 $j>0$ 順序の修正を機能させます $j$。仮説をODEに挿入すると、次のようになります。\ begin {equation} y ^ {(0)} _ \ pm(x)= \ sqrt {x} J _ {\ pm \ frac {1} {3} \ sqrt {1- 4 a}} \ left(\ frac {2} {3} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right)= \ frac {x ^ \ alpha} {{\ mathcal A} _ \ pm} F_ {0,1} [1 \ pm \ frac {1} {3} \ sqrt {1-4 a};-\ frac {x ^ 3} {9}] \ end {equation}ここで、$\alpha=1/2(1\pm \sqrt{1-4 a})$ そして ${\mathcal A}_\pm = 3^{\frac{\pm}{3} \sqrt{1-4 a} } \left(\frac{\pm}{3} \sqrt{1-4 a} \right)!$。\ begin {equation} \ left [\ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} +(x + \ frac {a} {x ^ 2})\ right] y ^ {(j)}(x )= -y ^ {(j-1)}(x)\ end {equation} for$j=1,2,\dots$。上記の方程式は、グリーン関数を使用して解くことができます。解は次のようになります。\ begin {equation} y ^ {(j)}(x)= \ int \ limits_0 ^ x \ left(\ frac {y ^ {(0)} _-(x)y ^ {(0) } _ +(\ xi)-y ^ {(0)} _ +(x)y ^ {(0)} _-(\ xi)} {{\ mathcal W} \ left [y ^ {(0)} _ +、y ^ {(0)} _- \ right](\ xi)} \ right)\ cdot(-)y ^ {(j-1)}(\ xi)d \ xi \ end {equation}ここに${\mathcal W}[y^{(0)}_+,y^{(0)}_-]$ロンスキー行列式です。これは、の関数としての定数です。$\xi$ \ begin {equation} {\ mathcal W} [y ^ {(0)} _ +、y ^ {(0)} _-](\ xi)=-\ frac {\ sin \ left [\ frac {\ pi} {3} \ sqrt {1- 4 a} \ right]} {\ frac {\ pi} {3}} \ end {equation}上記の方程式をコンパクトな方法で書くと、次のようになります。\ begin {方程式} y ^ {(J)}(x)= \ frac {1} {{\ mathcal W} ^ J} \ int \ limits_0 ^ x {\ mathcal K} ^ {(J)}(x、\ xi) \ cdot y ^ {(0)}(\ xi)d \ xi \ end {equation} where \ begin {equation} {\ mathcal K} ^ {(J)}(x、\ xi):= \ int \ limits_ \ xi ^ x {\ mathcal K} ^ {(J-1)}(x、\ eta)\ cdot {\ mathcal K}(\ eta、\ xi)d \ eta \ end {equation} for $J=2,3,\dots$および\ begin {equation} {\ mathcal K} ^ {(1)}(x、\ xi):= \ left | \ begin {array} {rr} y _ + ^ {(0)}(x)&y _- ^ {(0)}(x)\\ y _ + ^ {(0)}(\ xi)&y _- ^ { (0)}(\ xi)\ end {array} \ right | \ end {equation}ここで、高次の補正を構築するために、次の量(モーメントと呼ばれる)を計算します。\ begin {equation} {\ mathcal M} _ {J、l}(x):= \ int \ limits_0 ^ x {\ mathcal K} ^ {(J)}(x、\ xi)\ cdot \ xi ^ {l + \ alpha} d \ xi \ end {equation}ここで、$J=1,2,\dots$ そして $l=0,1,2,\dots$。部分積分を2回行うと、現時点では次の漸化式が得られます。\ begin {equation}(l + 2)(l + 2 \ pm \ sqrt {1-4 a}){\ mathcal M} _ {J、l} + {\ mathcal M} _ {J、l + 3} =-{\ mathcal W} \ cdot \ left({\ mathcal M} _ {J-1、l + 2} 1_ {J> 1} + \ delta_ {J、1} x ^ {l + 2 + \ alpha} \ right)\ end {equation} for$J=1,2,\dots$。漸化式の解は非常に単純で、次のようになります。\ begin {eqnarray} {\ mathcal M} _ {1、l}&=&{\ mathcal W} \ cdot x ^ {l + \ alpha-1} \ cdot \ left \ {F_ {1,2} \ left [\ begin {array} {rr} 1 \\ \ frac {l + 2} {3}&\ frac {l + 2 \ pm \ sqrt {1-4 a} } {3} \ end {array};-\ frac {x ^ 3} {3 ^ 2} \ right] -1 \ right \} \\ {\ mathcal M} _ {J、l}&=&{\ mathcal W} \ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty \ left(\ frac {-1} {3 ^ 2} \ right)^ {j + 1} \ cdot \ frac {{\ mathcal M} _ { J-1、l + 3 j + 2}} {\ left(\ frac {l + 2} {3} \ right)^ {(j + 1)} \ left(\ frac {l + 2 \ pm \ sqrt {1-4 a}} {3} \ right)^ {(j + 1)}} \ end {eqnarray} for$J>1$。順序の修正のための式と一緒に瞬間のための式を使用する$j$一次補正を取得します:\ begin {eqnarray} && y_ \ pm ^ {(1)}(x)= \ frac {x ^ {\ alpha + 2}} {(-9)^ 1 {\ mathcal A} _ \ pm} \ left [(-\ frac {1} {3})!\ right] ^ 2 \ left(\ pm \ frac {\ sqrt {1-4 a}} {3} \ right)!\ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty \ frac {(-\ frac {x ^ 3} {9})^ j)} {(\ frac {2} {3} + j)!(\ frac { 2 \ pm \ sqrt {1-4 a}} {3} + j)!} \\ && \ sum \ limits_ {j_1 = 0} ^ j \ binom {j_1- \ frac {1} {3}} {- \ frac {1} {3}} \ cdot \ binom {j_1- \ frac {1} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {1-4 a}} {3}} {-\ frac {1} { 3}} \ end {eqnarray}同様に、2次補正は次のようになります。\ begin {eqnarray} && y_ \ pm ^ {(2)}(x)= \ frac {x ^ {\ alpha + 4}} {(-9) ^ 2 {\ mathcal A} _ \ pm} \ left [(-\ frac {1} {3})!\ right] ^ 4 \ left(\ pm \ frac {\ sqrt {1-4 a}} {3 }\正しい)!\ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty \ frac {(-\ frac {x ^ 3} {9})^ j)} {(\ frac {4} {3} + j)!(\ frac { 4 \ pm \ sqrt {1-4 a}} {3} + j)!} \\ && \ sum \ limits_ {0 \ le j_1 \ le j_2 \ le j} ^ j \ binom {j_1- \ frac {1 } {3}} {-\ frac {1} {3}} \ cdot \ binom {j_1- \ frac {1} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {1-4 a}} {3}} { -\ frac {1} {3}} \ binom {j_2 + \ frac {1} {3}} {-\ frac {1} {3}} \ cdot \ binom {j_2 + \ frac {1} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {1-4 a}} {3}} {-\ frac {1} {3}} \ end {eqnarray}すべての高次補正のパターンを簡単に確認できるようになりました。そのため、問題は原則として解決されます。ただし、複数の合計を単一の合計に減らすと便利です。

0
doraemonpaul 2015-11-30 01:30.

ヒント:

$y''+\left(x+\dfrac{a}{x^2}+b\right)y=0$

$x^2y''+(x^3+bx^2+a)y=0$

しましょう $y=x^ku$

次に $y'=x^ku'+kx^{k-1}u$

$y''=x^ku''+kx^{k-1}u'+kx^{k-1}u'+k(k-1)x^{k-2}u=x^ku''+2kx^{k-1}u'+k(k-1)x^{k-2}u$

$\therefore x^2(x^ku''+2kx^{k-1}u'+k(k-1)x^{k-2}u)+(x^3+bx^2+a)x^ku=0$

$x^{k+2}u''+2kx^{k+1}u'+(x^3+bx^2+k(k-1)+a)x^ku=0$

$x^2u''+2kxu'+(x^3+bx^2+k(k-1)+a)u=0$

選択 $k(k-1)+a=0$ 、すなわち $k=\dfrac{1\pm\sqrt{1-4a}}{2}$ 、ODEは

$x^2u''+(1\pm\sqrt{1-4a})xu'+(x^3+bx^2)u=0$

$xu''+(1\pm\sqrt{1-4a})u'+(x^2+bx)u=0$

$4x\dfrac{d^2u}{dx^2}+2\dfrac{du}{dx}+(2\pm4\sqrt{1-4a})\dfrac{du}{dx}+(4x^2+4bx)u=0$

しましょう $x=r^2$

次に $\dfrac{du}{dr}=\dfrac{du}{dx}\dfrac{dx}{dr}=2r\dfrac{du}{dx}$

$\dfrac{d^2u}{dr^2}=\dfrac{d}{dr}\left(2r\dfrac{du}{dx}\right)=2r\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{du}{dx}\right)+2\dfrac{du}{dx}=2r\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{du}{dx}\right)\dfrac{dx}{dr}+2\dfrac{du}{dx}=2r\dfrac{d^2u}{dx^2}2r+2\dfrac{du}{dx}=4r^2\dfrac{d^2u}{dx^2}+2\dfrac{du}{dx}=4x\dfrac{d^2u}{dx^2}+2\dfrac{du}{dx}$

$\therefore\dfrac{d^2u}{dr^2}+\dfrac{1\pm2\sqrt{1-4a}}{r}\dfrac{du}{dr}+(4r^4+4br^2)u=0$

しましょう $u=e^{mr^3}v$

次に $\dfrac{du}{dr}=e^{mr^3}\dfrac{dv}{dr}+3mr^2e^{mr^3}v$

$\dfrac{d^2u}{dr^2}=e^{mr^3}\dfrac{d^2v}{dr^2}+3mr^2e^{mr^3}\dfrac{dv}{dr}+3mr^2e^{mr^3}\dfrac{dv}{dr}+(9m^2r^4+6mr)e^{mr^3}v=e^{mr^3}\dfrac{d^2v}{dr^2}+6mr^2e^{mr^3}\dfrac{dv}{dr}+(9m^2r^4+6mr)e^{mr^3}v$

$\therefore e^{mr^3}\dfrac{d^2v}{dr^2}+6mr^2e^{mr^3}\dfrac{dv}{dr}+(9m^2r^4+6mr)e^{mr^3}v+\dfrac{1\pm2\sqrt{1-4a}}{r}\left(e^{mr^3}\dfrac{dv}{dr}+3mr^2e^{mr^3}v\right)+(4r^4+4br^2)e^{mr^3}v=0$

$\dfrac{d^2v}{dr^2}+\left(6mr^2+\dfrac{1\pm2\sqrt{1-4a}}{r}\right)\dfrac{dv}{dr}+((9m^2+4)r^4+4br^2+3mr(3\pm2\sqrt{1-4a}))v=0$

選択 $9m^2+4=0$ 、すなわち $m=\pm\dfrac{2i}{3}$ 、ODEは

$\dfrac{d^2v}{dr^2}+\left(\pm4ir^2+\dfrac{1\pm2\sqrt{1-4a}}{r}\right)\dfrac{dv}{dr}+(4br^2\pm2ir(3\pm2\sqrt{1-4a}))v=0$

MORE COOL STUFF

ケイト・ブランシェットは3日間一緒に夫と一緒に寝て、25年経ってもまだ夫と結婚しています

ケイト・ブランシェットは3日間一緒に夫と一緒に寝て、25年経ってもまだ夫と結婚しています

ケイト・ブランシェットは、夫に会ったとき、典型的な交際のアドバイスに逆らいました。

マイケルシーンが非営利の俳優である理由

マイケルシーンが非営利の俳優である理由

マイケルシーンは非営利の俳優ですが、それは正確にはどういう意味ですか?

ホールマークスターのコリンエッグレスフィールドがRomaDramaLiveでスリル満点のファンと出会う![エクスクルーシブ]

ホールマークスターのコリンエッグレスフィールドがRomaDramaLiveでスリル満点のファンと出会う![エクスクルーシブ]

特徴的なスターのコリン・エッグレスフィールドは、RomaDrama Liveでのスリル満点のファンとの出会いについて料理しました!加えて、大会での彼のINSPIREプログラム。

「たどりつけば」をオンラインでストリーミングできない理由

「たどりつけば」をオンラインでストリーミングできない理由

ノーザンエクスポージャーが90年代の最も人気のある番組の1つになった理由を確認するには、Blu-rayまたはDVDプレーヤーをほこりで払う必要があります。

バイオニック読書はあなたをより速く読むことができますか?

バイオニック読書はあなたをより速く読むことができますか?

BionicReadingアプリの人気が爆発的に高まっています。しかし、それは本当にあなたを速読術にすることができますか?

ドミニカのボイリング湖:アクセスは簡単ではありませんが、ハイキングする価値があります

ドミニカのボイリング湖:アクセスは簡単ではありませんが、ハイキングする価値があります

ドミニカのボイリング湖は、世界で2番目に大きいボイリング湖です。そこにたどり着くまでのトレッキングは大変で長いですが、努力する価値は十分にあります。

私たちの水をきれいに保つのを助けるためにあなたの髪を寄付してください

私たちの水をきれいに保つのを助けるためにあなたの髪を寄付してください

サロンからのヘアトリミングや個人的な寄付は、油流出を吸収して環境を保護するのに役立つマットとして再利用できます。

ホワイトハウスの最も記憶に残る結婚式を見てください

ホワイトハウスの最も記憶に残る結婚式を見てください

過去200年以上の間にホワイトハウスで結婚したのはほんの数人です。彼らは誰でしたか、そしてそこで結婚式を獲得するために何が必要ですか?

ジェイ・ブルースはどうやら子供を妊娠することによってメッツから離れて取引されていることを祝った

ジェイ・ブルースはどうやら子供を妊娠することによってメッツから離れて取引されていることを祝った

あなたが一時的に会っていなかったとき。シーズン11-1を開始したチームであるニューヨークメッツは、日曜日の午後にフィラデルフィアで行われた最後の11試合の9試合目を失いました。

スティーブンキングのアウトサイダーはトランプ時代のそれです

スティーブンキングのアウトサイダーはトランプ時代のそれです

スティーブン・キングのアウトサイダーは、多くの点で先祖返りの小説であり、80年代の全盛期から引き裂かれたように見える生き物の特徴であり、おそらくセル以来の彼の最もパルプのような本ですが、今日の恐怖の中で間違いなく設立された作品です。表面上は、形を変えるペニーワイズのような子供たちの殺人者を中心としており、その最も暗い脅威は、封じ込められず、神経質に平凡なものよりも幻想的で打ち負かされません。

スティーブンユニバースは、強烈な内部エピソードのペアで、それ自体のバックストーリーをさりげなく粉砕します

スティーブンユニバースは、強烈な内部エピソードのペアで、それ自体のバックストーリーをさりげなく粉砕します

スティーブンユニバースビーチシティのエピソードが実行されるたびに、いくつかのクライマックスイベントが発生し、スティーブンユニバースのより広い神話に対する理解の一部が失われます。これはあなたが期待していたことですか?今日のエピソードは両方とも、容赦なくゆっくりと、シーズンの終盤の主要な部分を設定する決定的な結論に向かって進みます。そして、ロナウドは、静かな納屋が倒れているのを発見した夜中にスティーブンを捕まえるためにやって来ます。月に。

ディズニーワールドの旅行のヒントを教えてください

ディズニーワールドの旅行のヒントを教えてください

「光が触れるものはすべて私たちの王国です。」今週のHackYour Cityでは、1つのテーマパークを取り上げます。

Zendaya Wishes Boyfriend Tom Holland Happy Birthday with Cuddly Photo: He 'Makes Me the Happiest'

Zendaya Wishes Boyfriend Tom Holland Happy Birthday with Cuddly Photo: He 'Makes Me the Happiest'

Zendaya shared a sweet photo in honor of boyfriend Tom Holland's 26th birthday Wednesday

小さな女性:脳卒中を患った後に病院から解放されたアトランタのジューシーな赤ちゃん:「まだ癒し」

小さな女性:脳卒中を患った後に病院から解放されたアトランタのジューシーな赤ちゃん:「まだ癒し」

シーレン「Ms.JuicyBaby」ピアソンは、先月脳卒中で入院した後、「もう一度たくさんのことをする方法を学ばなければならない」ため、言語療法を受けていることを明らかにしました。

エマストーンは彼女のクリフサイドマリブビーチハウスを420万ドルでリストアップしています—中を見てください!

エマストーンは彼女のクリフサイドマリブビーチハウスを420万ドルでリストアップしています—中を見てください!

オスカー受賞者の世紀半ばの家には、3つのベッドルーム、2つのバス、オーシャンフロントの景色があります。

ジーニー・メイ・ジェンキンスは、母乳育児の経験の中で、彼女は「本当に、本当に落ち込んでいる」と言います

ジーニー・メイ・ジェンキンスは、母乳育児の経験の中で、彼女は「本当に、本当に落ち込んでいる」と言います

ジーニー・メイ・ジェンキンスは、生後4か月の娘、モナコに母乳育児をしていると語った。

投資ノート:Bioscout AU$300万シード

投資ノート:Bioscout AU$300万シード

Bioscoutは、農家を運転席に置くという使命を負っています。Artesian(GrainInnovate)やUniseedと並んで、最新のシードラウンドでチームを支援できることをうれしく思います。問題真菌症による重大な作物の損失は、農民にとって試練であることが証明されています。

リトルマーケットリサーチ1| 2022年のクイックグリンプス遠隔医療市場

リトルマーケットリサーチ1| 2022年のクイックグリンプス遠隔医療市場

遠隔医療は、パンデミック後の時代では新しいものではなく、時代遅れの分野でもありません。しかし、業界を詳しく見ると、需要と供給の強力な持続可能性と、米国で絶え間ない革命となる強力な潜在的成長曲線を示しています。

スタートアップ資金調達環境:タイのスタートアップエコシステムの次は何ですか?

スタートアップ資金調達環境:タイのスタートアップエコシステムの次は何ですか?

2021年は、世界的なベンチャーキャピタル(VC)の資金調達にとって記録的な年でした。DealStreetAsiaによると、東南アジアも例外ではなく、この地域では年間で記録的な25の新しいユニコーンが採掘されました。

ムーアの法則を超えて

ムーアの法則を超えて

計算に対する私たちの欲求とムーアの法則が提供できるものとの間には、指数関数的に増大するギャップがあります。私たちの文明は計算に基づいています—建築と想像力の現在の限界を超える技術を見つけなければなりません。

Language