Deixei $\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}$ é uma base para o espaço vetorial $V$. Deixei $w \in V$, prove isso $W =\{v_1+w,v_2+w,\cdots,v_n+w\}$ é uma base para $V$

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Jean P. 2020-09-12 06:55.

A pergunta completa é:

Deixei $\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}$ é uma base para o espaço vetorial $V$. Deixei$w \in V$, prove isso $W =\{v_1+w,v_2+w,\cdots,v_n+w\}$ é uma base para $V$ sse $w \neq a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n$, Onde $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = -1$.

Aqui está minha resposta:

A prova está dividida em duas partes. Para a primeira parte, vamos provar que se$W$ é uma base para $V$ então $w \neq a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n$, Onde $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = -1$por contrapositivo.
Presumir$w = a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n$, Onde $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = -1$. Portanto,

\begin{align} (-1)(-w) & = a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n \\ (a_1+a_2+\cdots+a_n)(-w) & = a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n \\ 0 & = a_1(v_1+w) + a_2(v_1+w) + \cdots + a_n(v_1+w) \end{align}

Nós vemos que $W$ não é linearmente independente porque $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = -1$. Conseqüentemente,$W$ não é uma base para $V$.

Isso está correto? Além disso, como provar a segunda parte (inverso)?

3 answers

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angryavian 2020-09-12 14:08.

Sua metade da prova está correta. Para a outra direção: suponha$W$ não é uma base para $V$. Então existe$c_1, \ldots, c_n$ nem todos zero tal que \begin{align} c_1 (v_1 + w) + \cdots + c_n(v_n + w)&=0\\ c_1 v_1 + \cdots + c_n v_n &= -(c_1 + \cdots + c_n) w\\ - \frac{c_1}{c_1 + \cdots + c_n} v_1 - \cdots - \frac{c_n}{c_1 + \cdots + c_n} v_n &= w \end{align} Você pode concluir a partir daqui?

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user8675309 2020-09-13 00:59.

outra abordagem: coletar os vetores abstratos em 'hipervetores'
$\mathbf {V} :=\bigg[\begin{array}{c|c|c|c|c} v_1 & v_2 &\cdots & v_{n}\end{array}\bigg]$
$\mathbf {W} :=\bigg[\begin{array}{c|c|c|c|c} v_1 +w & v_2+w &\cdots & v_{n}+w\end{array}\bigg]=\mathbf V + w\mathbf 1^T$

$w= \mathbf V \mathbf a\implies \mathbf W= \mathbf V + \big(\mathbf V\mathbf a\big)\mathbf 1^T = \mathbf V\big(I_n +\mathbf a \mathbf 1^T\big)$
$\text{rank}\Big(\mathbf W\Big) = \text{rank}\Big(\mathbf V\big(I_n +\mathbf a \mathbf 1^T\big)\Big)\leq \text{rank}\Big(\mathbf {V}\Big)$
uma vez que o RHS consiste inteiramente em vetores linearmente independentes, a igualdade se mantém sse $\det\big(I_n +\mathbf a \mathbf 1^T\big)\neq 0$.

Finalmente, aplique o lema do determinante da matriz para atualizações de classificação um:
$\det\big(I_n +\mathbf a \mathbf 1^T\big)= \det\big(I_n\big)\cdot\big(1 +\mathbf 1^TI_n^{-1}\mathbf a\big) = 1 \cdot \big(1 +\sum_{i=1}^n a_i\big)$

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copper.hat 2020-09-13 07:07.

Queremos mostrar que $v_k+w$é uma base iff $-w \notin \operatorname{aff} \{ v_k \}$ Onde $\operatorname{aff} V$ é o casco afim de $V$ (são todos os pontos do formulário $\sum_k \lambda_k v_k$ Onde $\sum_k \lambda_k = 1$)

Suponha $-w \in \operatorname{aff} \{ v_k \}$ então há $\lambda_k$ somando um tal que $\sum_k \lambda_k (v_k+w) = 0$ que contradiz $v_k+w$ sendo uma base.

Para a outra direção, suponha $-w \notin \operatorname{aff} \{ v_k \}$ e suponha $\sum_k \alpha_k (v_k+w) = 0$. E se$\sum_k \alpha_k = 0$ isto dá $\sum_k \alpha_k v_k = 0$ que por sua vez dá $\alpha_k = 0$. Caso contrário, deixe$\lambda_k = {\alpha_k \over \sum_j \alpha_j }$ e observe que o $\lambda_k$ soma para um, portanto $\sum_k \lambda_k (v_k+w) =0$ (ou $-w = \sum_k \lambda_k v_k$), o que é uma contradição. Conseqüentemente$\alpha_k = 0$ e entao $v+w_k$ são linearmente independentes.

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