Notação de função para relacionar domínio e intervalo

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欲しい未来 2020-09-07 14:52.

Eu estava resolvendo alguns problemas de funções e aqueles exercícios pediam para declarar o domínio e abrangência das funções. Nesse processo, tive minhas dúvidas sobre a notação da função. Eu gostaria de algo que relacionasse o Domínio e o Alcance. Considerando a função$f$ Eu vi notações como $\text{Dom}(f)$ e $\text{Ran}(f)$, mas gostaria de uma alternativa para isso.

Veja o exemplo $$f(x)=\frac{4-t^2}{2-t}=\frac{(2-t)(2+t)}{2-t}=2+t$$ Uma vez $t\neq2$, o domínio é $(-\infty, 2)\cup(2, \infty)$. O alcance é$t\neq4$, que é o ponto $(2, 4)$, onde a função é indefinida. Portanto,$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}-\{2\}$ e $\text{Ran}(f)=\mathbb{R}-\{4\}$. O exemplo dado é$f:\mathbb{R}-\{2\}\to \mathbb{R}$, e aqui está minha dúvida.

Uma vez $f:A\to B$, onde o domínio é A e codomínio B. Eu sei que a diferença entre Codomain e Range é que Codomain contém elementos que podem ser as imagens, e Range é exatamente as imagens produzidas. Portanto,$\text{Range}\subseteq \text{Codomain}$.

Tomando o exemplo novamente, posso dizer $f(\mathbb{R}-\{2\})=\mathbb{R}-\{4\}$, mas há algo errado com $f:\mathbb{R}-\{2\}\to \mathbb{R}-\{4\}$? Eu não posso usar isso dessa forma? Achei esse caminho muito direto. Eu gostaria de saber / entender melhor e melhorar minha notação matemática, então recomendações e correções são bem-vindas.

2 answers

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Michael Morrow 2020-09-07 15:06.

Deixei $A$ e $B$ser conjuntos. A notação$f:A\to B$ diz exatamente isso $f$ é uma função cujo domínio é $A$ e cujo codomínio é B. Isso, até agora, não diz nada sobre o alcance (ou imagem) de $f$. É comum referir-se ao intervalo de$f$como a imagem de$f$, e denotá-lo por $\text{im}(f)$. Como você disse, a imagem de$f$ é um subconjunto do codomínio de $f$. Agora, se você deixar$S\subset A$ ser algum subconjunto, então definimos $$ f(S)=\{f(s)\in B:s\in S\}. $$ Em outras palavras, $f(S)$ é o conjunto de todas as saídas de $f$ ao aplicar $f$ para cada elemento de $S$. Observe que$f(S)$é um conjunto . Então se você diz$f(S)=R$ para alguns $S\subset A$ e alguns $R\subset B$, isso significa que quando você aplica $f$ para cada elemento de $S$, você obtém o conjunto $R$. Observe que isso não é a mesma coisa que dizer que$f$ é uma função de $S$ para $R$. Eu espero que isso ajude.

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Mark S. 2020-09-08 04:19.

Depende do contexto.

Quando você está aprendendo a encontrar o alcance de uma expressão como $(4-t^2)/(2-t)$, então é provável que ninguém esteja focado no codomínio. Nesse caso, você pode escrever algo como "Podemos considerar$f$ Como uma função $f:\mathbb R-\{2\}\to\mathbb R-\{4\}$. "

Mas se você está discutindo o codomínio, ou se preocupa se a função é sobrejetiva / ligada (全 射 的), não deve alterar o codomínio. Se você for informado "o codomínio de$f(t)=(4-t^2)/(2-t)$ é $\mathbb R$"ou" o codomínio de todas as funções em discussão é $\mathbb R$", então tudo que você tem permissão para dizer são coisas como" O alcance / imagem de $f$ é $\mathbb R-\{4\}$"e" podemos definir uma nova função $g:\mathbb R-\{2\}\to\mathbb R-\{4\}$ dado por $g(t)=f(t)$. ".

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