Dado um campo $k$, mostrar que uma injeção $\mathbb{Z} \rightarrow k$ implica uma injeção $\mathbb{Q} \rightarrow k$

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Ajay Tatachar 2020-08-08 15:38.

Estou tentando provar que a existência de uma injeção $\mathbb{Z} \rightarrow k$ implica a existência de uma injeção $\mathbb{Q} \rightarrow k$, Onde $k$ é um campo.

Comecei definindo uma relação de equivalência $\sim$ em $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_+$ de tal modo que $(a, b) \sim (c, d) \iff ad = bc$. Então eu tenho uma bijeção do conjunto de classes de equivalência de$\sim$ para $\mathbb{Q}$, ie $f : [\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_+]_\sim{} \rightarrow \mathbb{Q}$.

É aqui que fico preso: se $g : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$ é a injeção, tentei construir injeção $h : [\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_+]_\sim{} \rightarrow k$ de $g$. A única coisa que consegui pensar foi$h([(a, b)]) = g(a)g(b)^{-1}$, mas eu não posso provar isso $g(b) \ne 0$ ou aquilo $h$ é uma injeção sem assumir $g$é um homomorfismo de anel. E se$h$ é uma injeção, então eu tenho a injeção $h \circ f^{-1} : \mathbb{Q} \rightarrow k$.

Estou abordando isso da maneira certa? Isso pode ser provado?

EDIT: Para contexto, esta questão foi feita em uma aula de álgebra abstrata, mas a questão não afirma explicitamente que a função $\mathbb{Z} \rightarrow k$é um homomorfismo de anel. Para responder como colocado, eu teria que construir uma bijeção de$\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Z}$. Esta pergunta foi respondida aqui .

2 answers

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WhatsUp 2020-08-08 15:49.

Eu me pergunto se a pergunta foi formulada e marcada corretamente.

As tags abstract-algebra, ring-theorye field-theoryparece implicar que você está falando sobre homomorphisms anel injetivas ao invés de apenas injeções. Nesse caso, sua abordagem está correta (mas talvez um pouco complicada).

No entanto, você afirmou explicitamente "sem assumir $g$ é um homomorfismo de anel ". Se isso significa que você está falando sobre injeções teóricas de conjuntos, a resposta é observar que há uma bijeção entre $\Bbb Q$ e $\Bbb Z$. Isso seria mais adequado como um exercício de teoria dos conjuntos.

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user10354138 2020-08-08 15:50.

Existem duas interpretações diferentes de injeções aqui.

  1. $\mathbb{Z}\to k$é um homomorfismo de anel injetivo. Então seu$\mathbb{Q}\to k$ é um homomorfismo de anel (ou campo) injetivo.

  2. $\mathbb{Z}\to k$é uma injeção de conjuntos subjacentes. Então você consegue$\mathbb{Q}\to k$ uma injeção de conjuntos subjacentes, compondo com uma injeção $\mathbb{Q}\to\mathbb{N}\hookrightarrow\mathbb{Z}$ (Desde a $\mathbb{Q}$ é contável).

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