Outras definições de valor absoluto em $\mathbb R$

3
Sebastiano 2020-08-07 01:42.

Eu conheço essas definições para o valor absoluto (ou módulo): dado um número real $x$, então

$$\bbox[yellow] {|x|=\begin{cases}x & \text{if } x\geq 0\\ -x& \text{if } x< 0\end{cases}}$$

ou

$$\bbox[yellow] {|x|=\max\{x,-x\}}$$

Existem outras definições em $\mathbb R$ (por exemplo, usando $\text{sgn}\, x$)?

PS: A pergunta é direcionada a alunos do ensino médio.

2 answers

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5xum 2020-08-07 01:44.

Em primeiro lugar, o que você está perguntando não é realmente uma notação. A palavra "notação" refere-se a como escrevemos um conceito particular. O conceito de "valor absoluto" tem realmente apenas uma notação: as barras verticais. Isso é,$|x|$ é a notação padrão para o conceito de "valor absoluto de $x$"


O que você está perguntando são as definições de$|x|$, e em particular, você está listando duas definições equivalentes de$|x|$.

Posso pensar em mais duas definições equivalentes para $|x|$:

  • $|x| = \mathrm{sign}(x) \cdot x$
  • $|x| = \sqrt{x^2}$
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Calvin Khor 2020-08-07 01:53.

Aqui estão algumas que eu poderia pensar:

  • $|x|$ pode ser definida como a distância (sem sinal) de $x$ da origem.
  • É a extensão uniforme de $f:[0,\infty)\to\mathbb R$ Onde $f(x):=x$.
  • $|x|$ é a norma única sobre $\mathbb R$ com $|1|=1$.

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