Limites de $1^n + 2^{n-1} + 3^{n-2} + \cdots + n^1$

17
GohP.iHan 2020-07-14 19:44.

Eu quero estimar o valor desta sequência para grandes$n$ (com um limite inferior e superior razoável).

Ou seja, podemos encontrar uma função $f(n)$ de tal modo que $$ \frac{1^n + 2^{n-1} + 3^{n-2} + \cdots + n^1}{f(n)} \rightarrow 1?$$

Tentei aproximar $ (n - x)^x $ como gaussiana, olha como é perto visualmente, mas a manipulação me escapa.

Aqui é o caso onde $n=20$:

Adendo: esta postagem pode ser relevante .

3 answers

12
H. H. Rugh 2020-07-14 23:00.

Se você deixar $m_n>1$ ser a solução única para $m_n = \frac{n}{1+\ln(m_n)}$ e $S_n=\sum_{k=1}^n k^{n-k}$ (Eu mudei n por um como em seus gráficos), então $$ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{S_n} m_n^{n-m_n+1} \sqrt{\frac{2\pi}{m_n+n}} =1.$$ Isso é o que você suspeitaria usando o método de Laplace, escrevendo $x^{n-x}=e^{f_n(x)}$ aproximando $f_n$ por uma parábola no máximo (que é para $x=m_n$) e calcular a integral de gauss resultante. Não verifiquei rigorosamente se a correção de terceira ordem da fórmula de Laplace é insignificante, mas numericamente o acima parece ser válido.


EDITAR: Deixe-me esboçar o esboço de uma prova (preencher os detalhes provavelmente equivaleria a escrever cerca de 3 páginas, repleto de fórmulas). Ela segue linhas mais ou menos conhecidas no caso da fórmula de Stirlings.

Etapa 1: mostrar isso $\sum_{k=1}^n k^{n-k}$ é equivalente ao integral $\int_1^n e^{f_n(x)}dx$ com $f_n(x)=(n-x)\ln(x)$ Como $n\rightarrow +\infty$. Isso não é tão difícil.

Etapa 2: nós escrevemos $m=m_n$. Substituindo$x=m+ t \frac{m}{\sqrt{m+n}}$ e usando $\ln m = \frac{n-m}{m}$ obtém-se depois de alguma álgebra: \begin{align} f_n(x) & = m \left( \frac{n-m}{m} - \frac{t}{\sqrt{n+m}}\right) \left( \frac{n-m}{m} + \ln \left(1+ \frac{t}{\sqrt{n+m}} \right)\right)\\ & = m\left(\frac{n-m}{m}\right)^2 -\frac{t^2}{2} + O\left(\frac{t^3}{\sqrt{n}}\right)\end{align} e depois $ \int_1^n e^{f_n(x)} dx = \frac{m_n^{n-m_n+1}}{\sqrt{n+m}} \int_{-l_n}^{u_n} \exp \left( -\frac{t^2}{2} + O \left( \frac{t^3}{\sqrt{n}}\right)\right)\; dt.$ Aqui, $l_n,u_n\rightarrow +\infty$ Como $n$ vai para o infinito e, pontualmente, o integrando vai para $e^{-t^2/2}$.

Etapa 3: Mostre que o integrando é limitado uniformemente em $n$ por uma função integrável e aplique a convergência dominada de Lebesgue para concluir a prova.

Para a Etapa 3, observe que uma função gaussiana não funcionaria como uma função dominante devido à cauda logarítmica em $f_n$. Você precisa construir a função dominante de uma forma mais inteligente. É aqui que os cálculos ficam mais feios e deixo isso de lado.

9
Chrystomath 2020-07-14 20:45.

Resposta parcial: $(a-x)^x= Ae^{-(x-b)^2/c}+O(|x-b|^3)$

Pegando logs $$x\ln(a-x)=\ln A-(x-b)^2/c$$

Deixei $x=b+y$, então expandindo dá $$b\ln(a-b)+y\ln(a-b)-\frac{b}{a-b}y-\frac{1}{a-b}y^2-\frac{b}{2(a-b)^2}y^2+O(y^3)=\ln A-\frac{y^2}{c}$$

Comparando os termos de que precisamos $$\ln A=b\ln(a-b),$$ $$(a-b)\ln(a-b)=b,$$ $$\frac{1}{c}=\frac{1}{a-b}+\frac{b}{2(a-b)^2}=\frac{2a-b}{2(a-b)^2}.$$ Estes determinam $b,A,c$ para o melhor ajuste.

Verificando com o exemplo $a=20$, dá $b=13.16$, $c=-3.49$, $A=9.7\times10^{10}$.

Isso sugere que tomemos $A\sqrt{\pi c}=\sqrt{2\pi}\frac{(a-b)^{b+1}}{\sqrt{2a-b}}$ como a aproximação da soma.

Comparando a soma de $n=a=10,\ldots,20$

$$Sum(n)=11377, 49863, 232768, 1151914, 6018785, 33087205, 190780212, 1150653920, 7241710929, 47454745803, 323154696184$$

$$Approx(n)=11374, 49845, 232672, 1151410, 6016080, 33072000, 190692000, 1150120000, 7238320000, 47432600000, 323004000000$$

4
Claude Leibovici 2020-07-15 23:51.

A partir da resposta de @Crystomath, para um determinado valor de $a$ temos expressões analíticas para $A$, $b$ e $c$.

O truque é reescrever sua segunda equação $$(a-b)\ln(a-b)=b$$ $$(a-b)+(a-b)\ln(a-b)=a \implies k+k \log(k)=a \implies k=\frac{a}{W(e a)}$$ Onde $W(.)$é a função de Lambert. Então, isso dá$$\color{blue}{A=k^{a-k}\qquad b=a-k \qquad c=\frac{2 k^2}{a+k}}\qquad \text{with} \qquad \color{red}{k=\frac{a}{W(e a)}}$$ e depois $$A\sqrt{\pi c}= k^{a-k+1} \sqrt{\frac{2 \pi}{a+k}}$$ Arredondando os números, para $a=20$, isso gera a sequência $$\{2,4,9,23,66,210,733,2780,11374,49845,232672,1151412,6016082,33072048,190691716, 1150116697,7238323772,47432585137,323004401255,2281724622065, 16693240814087\}$$ ao invés de $$\{1,3,8,22,65,209,732,2780,11377,49863,232768,1151914,6018785,33087205,190780212,11 50653920,7241710929,47454745803,323154696184, 2282779990494, 16700904488705\}$$

Editar

Todo o trabalho pode ser feito sem expansões, mas sim identificação de função em um único ponto.

Considerar $$f(x)=(a-x)^x $$ $$f'(x)=(a-x)^x \left(\log (a-x)-\frac{x}{a-x}\right)$$ $$f''(x)=(a-x)^{x-2} \left((a-x) \log (a-x) ((a-x) \log (a-x)-2 x)-2 a+x^2+x\right)$$ $$ g(x)=A e^{-\frac{(x-b)^2}{c}}$$ $$g'(x)=-\frac{2 A (x-b) e^{-\frac{(x-b)^2}{c}}}{c}$$ $$ g''(x)=-\frac{2 A e^{-\frac{(b-x)^2}{c}} \left(c-2 (b-x)^2\right)}{c^2}$$ Calcular $x_*$ correspondendo a $f'(x)=0$ e então resolver para $(A,b,c)$ as equações $$f(x_*)=g(x_*) \qquad \qquad f'(x_*)=g'(x_*) \qquad \qquad f''(x_*)=g''(x_*) $$ Com certeza, isso leva aos mesmos resultados.

Related questions

MORE COOL STUFF

Cate Blanchett dormiu com o marido depois de 3 dias juntos e ainda está casada com ele 25 anos depois

Cate Blanchett dormiu com o marido depois de 3 dias juntos e ainda está casada com ele 25 anos depois

Cate Blanchett desafiou os conselhos típicos de namoro quando conheceu o marido.

Por que Michael Sheen é um ator sem fins lucrativos

Por que Michael Sheen é um ator sem fins lucrativos

Michael Sheen é um ator sem fins lucrativos, mas o que exatamente isso significa?

Hallmark Star Colin Egglesfield Pratos Emocionantes Encontros de Fãs no RomaDrama Live! [Exclusivo]

Hallmark Star Colin Egglesfield Pratos Emocionantes Encontros de Fãs no RomaDrama Live! [Exclusivo]

A estrela da Hallmark Colin Egglesfield falou sobre emocionantes encontros com fãs no RomaDrama Live! além de seu programa INSPIRE na convenção.

Por que você não pode transmitir 'Exposição do Norte' online

Por que você não pode transmitir 'Exposição do Norte' online

Você terá que tirar o pó de um Blu-ray ou DVD player para ver por que Northern Exposure se tornou um dos programas mais populares dos anos 90.

Where in the World Are You? Take our GeoGuesser Quiz

Where in the World Are You? Take our GeoGuesser Quiz

The world is a huge place, yet some GeoGuessr players know locations in mere seconds. Are you one of GeoGuessr's gifted elite? Take our quiz to find out!

Como a matéria branca ajuda a função da matéria cinzenta do cérebro

Como a matéria branca ajuda a função da matéria cinzenta do cérebro

Todos nós já ouvimos falar da massa cinzenta do cérebro, mas e a massa branca? O que isso faz?

Doe seu cabelo para ajudar a manter nossa água limpa

Doe seu cabelo para ajudar a manter nossa água limpa

Aparas de cabelo de salões e doações pessoais podem ser reaproveitadas como tapetes que absorvem derramamentos de óleo e ajudam a proteger o meio ambiente.

Um olhar sobre os casamentos mais memoráveis ​​da Casa Branca

Um olhar sobre os casamentos mais memoráveis ​​da Casa Branca

Apenas algumas pessoas se casaram na Casa Branca nos últimos 200 anos. Quem eram eles e o que é necessário para marcar um casamento lá?

O Mercedes-AMG C63 S 2015 é perfeito, exceto por três coisas

O Mercedes-AMG C63 S 2015 é perfeito, exceto por três coisas

Algumas coisas merecem ser repetidas. Por exemplo, tendo a insistir em como o valor supera o preço e que você nunca deve se contentar com o mundano só porque é tecnicamente a escolha mais segura.

DeAndre Jordan descarta o agente que talvez Sorta o empurrou para assinar com Mavs

DeAndre Jordan descarta o agente que talvez Sorta o empurrou para assinar com Mavs

Ei, lembra de toda aquela merda com DeAndre Jordan em julho? Não? Deixe-me lembrá-lo brevemente. Em 3 de julho, os poderes relataram que Jordan escolheu se juntar aos Mavericks na agência gratuita, mas cinco dias depois vieram relatos de que Jordan estava tagarelando e os Clippers estavam tentando cortejá-lo de volta.

O Microsoft Translator pode traduzir com voz, texto e o seu relógio

O Microsoft Translator pode traduzir com voz, texto e o seu relógio

Android: os aplicativos de tradução de idiomas não são novidade (o que é uma das frases mais legais que escrevi), mas o novo aplicativo Translator da Microsoft oferece alguns recursos interessantes. Além de traduzir entre 48 idiomas por texto ou voz, você pode até usar um relógio Android Wear para traduzir do seu pulso.

Retrato pintado por AI vende por $ 432.500

Retrato pintado por AI vende por $ 432.500

Uma pintura feita por um programa de inteligência artificial vendida no leilão da Christie's em Nova York na quinta-feira por $ 432.500 - muito mais do que os estimados $ 7.000 a $ 10.000. o coletivo de arte de Paris Óbvio.

Nicky Hilton Forced to Borrow Paris' 'I Love Paris' Sweatshirt After 'Airline Loses All [My] Luggage'

Nicky Hilton Forced to Borrow Paris' 'I Love Paris' Sweatshirt After 'Airline Loses All [My] Luggage'

Nicky Hilton Rothschild's luggage got lost, but luckily she has an incredible closet to shop: Sister Paris Hilton's!

Carne de porco Mapo de Dawn Burrell e homus de Edamame

Carne de porco Mapo de Dawn Burrell e homus de Edamame

"Esta é uma indústria dominada por homens, e estou feliz por ser uma das pessoas que quebrou o molde para ajudar as mulheres de cor", diz Top Chef: finalista de Portland e chef-parceiro do final de agosto em Houston. "Muitas vezes somos ignorados e às vezes não ensinados, mas isso vai mudar."

Kate Middleton passa um dia à beira da água em Londres, além de Jennifer Lopez, Julianne Hough e mais

Kate Middleton passa um dia à beira da água em Londres, além de Jennifer Lopez, Julianne Hough e mais

Kate Middleton passa um dia na água em Londres, além de Jennifer Lopez, Julianne Hough e muito mais. De Hollywood a Nova York e em todos os lugares, veja o que suas estrelas favoritas estão fazendo!

Jovem de 17 anos esfaqueado até a morte enquanto outros 4 ficaram feridos em um ataque de faca no rio Wisconsin

Jovem de 17 anos esfaqueado até a morte enquanto outros 4 ficaram feridos em um ataque de faca no rio Wisconsin

Investigadores estão investigando se o grupo e o suspeito se conheciam antes do ataque

Aterrissagens na pista

Aterrissagens na pista

O final do verão e o outono são estações nostálgicas. Os postes de luz lançam sua luz sobre as ruas escorregadias pela chuva, e as folhas sob os pés – vermelho-alaranjado nas sombras do crepúsculo – são um lembrete de dias passados.

Imagine criar uma estratégia de conteúdo que realmente CONVERTE. É possível.

Imagine criar uma estratégia de conteúdo que realmente CONVERTE. É possível.

Em 2021, encorajo você a repensar tudo o que sabe sobre os clientes que atende e as histórias que conta a eles. Dê um passo para trás.

Uma perda gigantesca abriu meu coração para o amor

Uma perda gigantesca abriu meu coração para o amor

No dia do aniversário de 9 anos de Felix The Cat, lembro-me de uma das maiores perdas da minha vida adulta – minha Sophie em 2013. Escrevi este ensaio e o compartilhei brevemente nesta plataforma em 2013.

Quando você não pode ser a pessoa que a internet quer que você seja

Quando você não pode ser a pessoa que a internet quer que você seja

Odeio a palavra “naufrágio”. As pessoas se confortam em sua própria bússola moral e, ao fazê-lo, encontram-se julgando.

Language