Produto interno na álgebra de mentira Então o mapa exponencial se torna a matriz exponencial?

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Jeffrey Rolland 2020-05-06 15:19.

Eu tenho uma pergunta estúpida sobre as álgebras de Lie e o mapa exponencial: qual produto interno $\mathfrak{g}$ (e, portanto, qual métrica Riemanniana sobre $G$, usando a multiplicação à esquerda como isometria) torna o mapa exponencial (como um mapa do espaço tangente de uma variedade para a variedade) a matriz exponencial (como um mapa da álgebra de Lie de um grupo de Lie para o grupo de Lie)?

Então, para explicar um pouco, se $(M,g)$é uma variedade Riemanniana fechada, tem um fluxo geodésico. Dado$p \in M$ e $v \in T_p(m)$, há um geodésico único $\gamma_{p,v}(t)$ com $\gamma(0) = p$ e $\frac{d \gamma}{dt}(0) = v$. Nós chamamos$\text{Exp}: T_p(M) \to M$ dado por $\displaystyle \text{Exp}(v) = \gamma_{p,v}(1)$ o mapa exponencial "de acordo com Hoyle" e, de forma mais geral, para $||v|| = 1$, $\text{Exp}(tv) = \gamma_{p,v}(t)$.

Para agora $G$ um grupo de matriz sobre $\mathbb{C}$ [Editar: de acordo com a resposta abaixo, isso deve acabar $\mathbb{R}$/ uma forma real?] que também é um grupo de Lie compacto, $I \in G$, e $\mathfrak{g} = T_I(G)$, se tiver-mos $A \in \mathfrak{g}$, nós chamamos $\text{Exp}: \mathfrak{g} \to G$ dado por $\displaystyle \text{Exp}(A) = e^{A} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{A^n}{n!} \in G$ o mapa exponencial "de acordo com Hoyle" e, de forma mais geral, $\displaystyle \text{Exp}(tA) = e^{tA} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(tA)^n}{n!} \in G$.

Minha pergunta (e esta provavelmente é bem básica / estúpida) é, há um produto interno $\langle\ |\ \rangle$ em $\mathfrak{g}$ que, juntamente com o uso da multiplicação à esquerda em $G$ para fazer uma métrica Riemanniana $g$ em $G$ fora de $\langle\ |\ \rangle$, de modo que o primeiro sentido do mapa exponencial concorda com o segundo sentido? É isso

$$ \langle A\ |\ B\rangle = \Re\left\{\text{Tr}(B^*A)\right\} = \Re \left\{\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{q=1}^n \bar{B}_{qi}A_{qi}\right\}$$

desta postagem Métrica sobre uma álgebra de Lie$\mathfrak{u}(n)$?

Desde já, obrigado.

1 answers

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Sebastian Schulz 2020-05-06 17:14.

Posso estar interpretando mal sua afirmação "para G um grupo de matriz sobre C que também é um grupo de Lie compacto", mas os únicos grupos de Lie compactos complexos são variedades abelianas ("teorema de Chevalley"), enquanto os grupos lineares são afins, muito longe de compactos .. já que você está interessado em métricas Riemannianas, assumirei que você deseja considerar grupos reais compactos (como U (n), SO (n), SU (n), ...)

No caso de um grupo de Lie simples (SU (n), Spin (n), SO (n), Sp (n), ...), há uma forma bilinear bi-invariante única (até a escala) (o Forma de matar), e é definida negativa se e somente se o grupo de Lie for compacto. Portanto, você pode pegar o negativo dessa forma, que se eleva (graças à bi-invariância) naturalmente para uma métrica Riemanniana em G.

A fórmula geral para a forma de matar é $$B(X,Y) = \mathrm{tr} (ad(X) \circ ad(Y))$$e assim faz contato direto com a representação adjunta: A ação natural do grupo de Lie em sua álgebra de Lie. Isso é simples (mas talvez um pouco chato) de calcular e, no caso dos grupos de Lie clássicos, a forma é apenas um múltiplo constante de$\mathrm{tr}(XY)$ (tomado na representação de definição): por exemplo, para $\mathfrak{so}(n)$ isto é $B(X,Y) = (n-2) \mathrm{tr}(XY)$ onde você pode pensar em $X$ e $Y$ tão especial ortogonal $n \times n$-matrizes. Você pode encontrar mais aqui:https://en.wikipedia.org/wiki/Killing_form#Matrix_elements

Em qualquer caso, para um grupo com uma métrica bi-invariante como esta, o exponencial da matriz e o exponencial geométrico Riemanniano coincidem, enquanto para um grupo que não permite uma métrica bi-invariante (como um grupo não compacto), esses dois irão não concordo.

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