Antes de definirmos a operação do grupo e rotular os elementos, como os grupos de Lie contínuos são distinguíveis?

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Charlie 2020-04-30 02:28.

Isenção de responsabilidade obrigatória: não sou matemático, sou estudante de física.

Estou aprendendo sobre grupos de Lie e bati um pouco em uma parede aqui. Vou falar especificamente sobre os grupos de Lie que preciso conhecer,$U(1)$, $SO(2)$, $SO(3)$ e $SU(2)$, principalmente porque eu sei que qualquer coisa que eu diga terá inúmeros contra-exemplos e no momento não estou preocupado com nada fora desse escopo.

Então, no meu entendimento, esses grupos de Lie podem ser definidos como uma tupla de 4, $(G,\cdot,\tau,\mathscr{A})$, um conjunto contínuo de elementos, $G$, a operação do grupo, $\cdot$, com todos os seus axiomas e uma topologia / atlas para dar-lhe uma estrutura múltipla. Agora, neste ponto, parece que todos os grupos de Lie listados acima são completamente indistinguíveis, não rotulamos nenhum dos elementos do conjunto, não definimos a operação do grupo e não especificamos a composição do topologia / atlas. Minha primeira pergunta é se isso é verdade, que no nível puramente abstrato esses grupos são indistinguíveis agora.

Eu então entendo que definimos uma representação desses grupos como um mapa dos elementos do próprio grupo de Lie para algum subconjunto do grupo linear geral:

$$\pi:G\rightarrow GL(n;\Bbb{C}).$$

É apenas neste ponto que os grupos de Lie estão associados a matrizes, este é geralmente o ponto em que os textos de física pegam a ideia de grupos de Lie, sem muita referência a este "mapa de representação", suponho que seja por isso que os grupos de Lie são referidos como "os grupos de matriz" às vezes em textos de física.

Faz sentido para mim que, neste ponto, possamos distinguir entre os grupos de Lie, porque fazemos a exigência de que as matrizes que representam, digamos,$SU(2)$ são unitários e definidos sobre os números complexos, e as matrizes que representam $SO(2)$são ortogonais e definidos sobre os números reais. Eu entendo que existem várias representações diferentes para cada grupo, exatamente o que são, não é algo que me preocupe no momento. Minha segunda pergunta seria, então, por que todas as representações de grupos de Lie não são isomórficas entre si porque não existe um mapeamento que preserve a operação do grupo? Parece que, como todos esses grupos de Lie contêm um conjunto contínuo de elementos, pode haver um mapeamento 1 para 1 entre eles. Se esta segunda pergunta requer uma quantidade significativa de matemática, provavelmente não se importará comigo, mas pensei em perguntar.

Qualquer ajuda apreciada.

2 answers

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Lee Mosher 2020-04-30 08:07.

Para responder à sua primeira pergunta, é totalmente incorreto dizer que $U(1)$, $SO(2)$, $SO(3)$ e $SU(2)$ são "completamente indistinguíveis", que "não rotulamos nenhum elemento do conjunto", que "não definimos a operação do grupo" e que "não especificamos a composição da topologia / atlas".

Por exemplo, em relação a $SO(3)$:

  • Seus elementos são os $3 \times 3$ matrizes $M$ com entradas de números reais tais que $M M^{T}$ é a matriz de identidade e tal que o determinante de $M$ é igual a $1$.
  • Sua operação de grupo é a multiplicação de matrizes.
  • Sua topologia é a topologia de subespaço definida pela óbvia incorporação $M \to \mathbb R^9$, sob a qual a matriz
  • $$M = \begin{pmatrix} M_{1,1} & M_{1,2} & M_{1,3} \\ M_{2,1} & M_{2,2} & M_{2,3} \\ M_{3,1} & M_{3,2} & M_{3,3}\end{pmatrix} $$ é mapeado para o $9$ tupla $$(M_{1,1} , M_{1,2} , M_{1,3} , M_{2,1} , M_{2,2} , M_{2,3} , M_{3,1} , M_{3,2} , M_{3,3}) \in \mathbb R_9 $$

Eu poderia continuar com seu atlas, que é mais técnico, mas acho que já fiz o que quero dizer.


Agora, para falar um pouco mais sobre "distinguibilidade", a questão chave para um matemático é o conceito de "isomorfismo". Alguém poderia perguntar: existe um isomorfismo$f : U(1) \to SO(2)$? Se sim, então alguém diria que os grupos de Lie$U(1)$ e $SO(2)$ são "isomórficos".

Mas para um matemático, antes que isso possa fazer sentido, o conceito de isomorfismo deve ser definido: dados dois grupos de Lie $G,H$, um isomorfismo é uma bijeção suave$f : G \to H$ de tal modo que $f(gg') = f(g) f(g')$ para todos $g,g' \in G$.

Acontece que $U(1)$ e $SO(2)$são realmente isomórficos. A prova requer que se escreva uma fórmula para um isomorfismo$f : U(1) \to SO(2)$. Cada elemento de$U(1)$ é um $1 \times 1$ matriz $(z)$ consistindo em um número complexo tal que $|z|=1$. De locação$z = x+iy$, nós definimos $$f(z) = \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix} $$ Agora há algum trabalho a fazer, ou seja, que $f$ é uma bijeção suave e isso $f(zw) = f(z) f(w)$, mas isso pode ser feito e no final provou-se que $U(1)$ e $SO(2)$são isomórficos. Talvez alguém possa tomar isso como evidência de que esses dois grupos de Lie são "indistinguíveis", embora para um matemático essa seja uma terminologia a ser evitada; de um ponto de vista formal, eu continuaria dizendo que eles são "isomórficos".

Mas, por outro lado, verifica-se que $SO(2)$ e $SO(3)$não são isomórficos. Isso exige que se prove um negativo: não existe um isomorfismo$f : SO(2) \to SO(3)$. A prova é um argumento por contradição, baseado em um teorema de topologia diferencial: se dois grupos de Lie são isomórficos, então eles têm a mesma dimensão; mais geralmente, se duas variedades lisas são difemorficas, então elas têm a mesma dimensão. Agora se calcula as dimensões: a dimensão de$SO(2)$ é igual a $1$ e a dimensão de $SO(3)$ é igual a $3$. Portanto, eles não são isomórficos.

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Dietrich Burde 2020-04-30 02:45.

Como esses grupos de Lie são distinguíveis? Um dos métodos padrão é considerar a álgebra de Lie associada , ou seja, um espaço vetorial associado com um colchete de Lie. Então, é principalmente álgebra linear para mostrar que as álgebras de Lie não são isomórficas e, pela teoria geral, não são os grupos de Lie que você anotou. Por exemplo, muitas vezes sua dimensão já é diferente (o que coincide com a dimensão do espaço vetorial da álgebra de Lie). Observações semelhantes dizem respeito às representações .

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