Estimando integrais usando somas de Riemann

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satan 29 2020-04-09 05:21.

Deixei $f$ ser uma função tal que $f''(x)<0$ para $x$ dentro $(0,1)$.

Somos obrigados a encontrar $$\left\lfloor\left(\frac{\sum_{r=1}^n \frac{f(r/n)}{n}+ \sum_{r=0}^{n-1} \frac{f(r/n)}{n}}{2 \int_{0}^{1} f(x) dx }\right)\right\rfloor$$ (ou seja, a maior função inteira desta expressão).

A resposta dada é $0$, o que implica que o numerador é menor que o denominador.

Minha pergunta é: como chegamos a essa resposta?

Tenho duas preocupações principais:

  1. O denominador da expressão dá $2$vezes a área real sob a curva, enquanto no numerador: uma das somas dará uma subestimativa, enquanto a outra uma superestimação. Como posso saber sobre a extensão da subestimação / superestimação? Se a superestimação compensar a subestimação, obteremos a resposta como$1$, de outra forma $0$. Talvez a concavidade da função nos dê a pista? Não estou muito bem equipado com essa ideia.

  2. Embora não pareça relevante para esta questão em particular, mas, pelo que eu sei, para saber qual soma de Riemann (esquerda ou direita) dá a subestimativa / superestimativa, precisamos saber se a função está aumentando ou diminuindo ao longo do intervalo. Essa pergunta, porém, só nos dá a concavidade! E estou certo de que uma função côncava para baixo não está necessariamente diminuindo.

1 answers

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Shai 2020-04-09 07:49.

Observe que $$ \frac{\sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(\frac{r}{n}\right) + \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n} f\left( \frac{r}{n} \right)}{2} = \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n}\frac{f\left(\frac{r-1}{n}\right) + f\left(\frac{r}{n}\right)}{2} $$ Agora, $$ \frac{1}{n}\frac{f\left(\frac{r-1}{n}\right) + f\left(\frac{r}{n}\right)}{2} $$ é a área do trapézio formada pelos vértices $$ \left( \frac{r-1}{n}, 0 \right), \left( \frac{r}{n}, 0 \right), \left( \frac{r}{n}, f\left(\frac{r}{n}\right) \right), \left( \frac{r-1}{n}, f\left(\frac{r-1}{n}\right) \right) $$ Crucialmente, a linha que conecta $\left( \frac{r-1}{n}, f\left(\frac{r-1}{n}\right) \right)$ para $\left( \frac{r}{n}, f\left(\frac{r}{n}\right) \right)$está completamente abaixo da curva, porque a curva é côncava. Isso significa que a área,$T_{r}$, deste trapézio tem área menor que $$ \int_{\frac{r-1}{n}}^{\frac{r}{n}} f(x) \, dx $$ Portanto $$ \sum_{r=1}^{n} T_{r} \leq \sum_{r=1}^{n} \int_{\frac{r-1}{n}}^{\frac{r}{n}} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx $$ como requerido.

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