Função de escolha particular sem Axioma de Escolha

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Ender Wiggins 2020-03-01 03:47.

Encontrei a seguinte declaração em Rotman, Advance Modern Algebra

E se $\{G_a\mid a\in A\}$ é uma família de grupos, então podemos definir uma função de escolha $f:A\to\bigcup_{a\in A}G_a$ de $f(a)=1_a$, Onde $1_a$ é o elemento de identidade de $G_a$; não precisamos do axioma da escolha para definir$f$. Em contraste, se simplesmente "escolhermos" algum elemento$x_a\in G_a$, então a "função" $h:A\to\bigcup_{a\in A}G_a$ com $h(a)=x_a$ não está bem definido.

Intuitivamente, não tenho nenhum problema com esta afirmação: no primeiro caso estou realizando uma espécie de escolha "determinada" ou "natural", porque todo grupo tem uma identidade. No segundo caso, estou realmente olhando para a família de grupos como uma família de conjuntos e, portanto, estou realmente fazendo uma escolha.

No entanto, fui solicitado a mostrar isso "formalmente", ou seja, na Teoria dos Conjuntos, e minha experiência em lógica de primeira ordem é muito pobre.

Em primeiro lugar, gostaria de mostrar que a função de escolha $f:a\mapsto 1_a$é bem definido sem recorrer ao Axioma da Escolha. Eu sei disso$A$ é um conjunto por suposição. $G:=\bigcup_{a\in A}G_a$ é um conjunto do Axioma da União da Teoria dos Conjuntos e posso executar $A\times G$que é um conjunto. Agora, considero a fórmula$$\phi:\quad \exists a(a\in A \wedge 1\in G_a\wedge u=(a,1))$$ que é uma fórmula honesta porque construída a partir das fórmulas atômicas $x\in y$ e $x=y$ e a constante $1$(que existe na Teoria dos Grupos) por meio dos conectivos lógicos e dos quantificadores. A função de escolha$f$ agora deveria ser $$\{u \mid \phi(u)\},$$ o que deveria significar exatamente $f=\{(a,g)\in A\times G\mid a\in A \text{ and }g=1_a\in G_a\}$. Não é?

Se isso estiver correto, minha segunda pergunta é: por que não posso usar o mesmo argumento para provar que a função de escolha geral está bem definida? É porque neste último caso devo definir$\phi$ Como $$\phi:\quad \exists a\exists g(a\in A \wedge g\in G_a \wedge u=(a,g))$$ e o ponto crítico é $g\in G_a$? Mas então por que exatamente é crítico ou no que difere de$1\in G_a$?

Muito obrigado antecipadamente por qualquer conselho ou ajuda.

1 answers

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Asaf Karagila 2020-03-01 03:58.

O problema aqui é que geralmente há muitas maneiras (leia-se: mais de uma) de transformar um conjunto em um grupo. Portanto, você precisa escolher um, dada uma família de conjuntos. Mas, no caso com o qual você está lidando, você já tem essas opções. Portanto, você está simplesmente decodificando a partir dessa escolha um tipo diferente de escolha.

Sem mencionar que o axioma da escolha decorre da suposição de que "todo conjunto não vazio tem uma estrutura de grupo". Mas isso está além do ponto.

O que acontece aqui é que um grupo tem um elemento distinto. Portanto, é fácil escolher esse . Da mesma forma, se$\{A_i\mid i\in I\}$ é uma família de conjuntos, então $\{A_i\cup\{I\}\mid i\in I\}$ admite uma função de escolha: basta escolher $I$de cada um. Por outro lado, os conjuntos, em geral, não possuem um elemento distinto. Portanto, você não pode simplesmente escolher um de maneira coerente e uniforme.

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