Intuição por trás $\sin(\theta)$ ao apresentar isso para alunos do ensino médio

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user523384 2020-02-14 14:58.

Ao apresentar a trigonometria aos alunos, a configuração tradicional é começar com um triângulo retângulo com ângulo de referência $\theta$ e rotulamos os lados com "Hipotenusa, Oposto e Adjacente".

Para manter os alunos envolvidos com alguma praticidade por trás disso, podemos dar um exemplo de tentar descobrir a altura de uma árvore, saber a que distância você está da base da árvore e estimar o ângulo até o topo da árvore.

Em seguida, definimos algo arbitrário chamado "$\sin(\theta) = \frac{\text{Opposite}}{\text{Hypotenuse}}$"

Sinto que, neste ponto, os alunos perdem a intuição conceitual por trás do que está acontecendo. Alguns alunos que conseguem simplesmente aceitar sem questionar muito podem começar a digitar números e ângulos na calculadora ao fazer perguntas de exemplo. Outros alunos que se sentem presos a essa ideia estranha podem não conseguir seguir em frente.

O que seria uma boa ideia para explicar como pensar sobre $\sin(\theta) $? Não quero introduzir uma definição de tipo de círculo unitário porque sinto que isso apenas a tornará menos tangível para eles. Podemos fazer melhor do que algo como "é um computador mágico que informa a relação entre os lados oposto e hipotenusa de um triângulo retângulo quando você fornece o ângulo de referência"

Talvez para elaborar / esclarecer: eu sinto algumas coisas que os alunos podem não ser capazes de entender

Se você pegar o exemplo da árvore visto de cima, temos o lado adjacente e o ângulo. Agora:

A definição de $\tan(\theta)$é a quantidade que faltava que queríamos em primeiro lugar. A proporção do lado oposto e do lado adjacente. Mas como faz$\tan$ ir e calcular a proporção quando eu dou um ângulo?

Acho que é possível convencê-los - uma vez que tenho essa proporção, posso encontrar o comprimento do lado que falta: $\text{Opposite} = \tan(\theta)\times \text{Adjacent}$.

3 answers

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robert timmer-arends 2020-02-14 21:21.

Minha resposta é mais pedagógica do que matemática, mas a pergunta é feita aqui, então aqui vai:
Esta é uma abordagem que usei com alunos que estão aprendendo sobre relações trigonométricas pela primeira vez.

Em primeiro lugar, certifico-me de que os alunos compreendem a ideia de semelhança, triângulos semelhantes e como as proporções de qualquer par de lados correspondentes são iguais para todos os triângulos semelhantes.

Se tudo estiver bem, coloco aos alunos que isso significa que, para qualquer triângulo de forma, se soubermos a proporção de um par de lados e o comprimento de um desses lados em um triângulo dessa forma, podemos trabalhar o comprimento do outro lado (discuta com exemplos)

Depois de explicar que vamos examinar os triângulos retângulos (e falar sobre por que eles podem ser escolhidos acima de todos os outros), eu emito uma planilha.

Esta planilha tem um primeiro quadrante ligeiramente desenhado com raio de 10 cm. A cada 5 graus ao redor da circunferência, há um ponto. Os alunos são então atribuídos a um ângulo específico (muitas duplicações para permitir a verificação de erros) e são solicitados a desenhar um triângulo retângulo incorporando esse ângulo. Eles devem então medir com precisão o lado oposto e a hipotenusa, e me dar a razão O / H. Eu escrevo isso no quadro construindo uma mesa.

Ok, agora temos uma tabela de 5 a 85 graus para triângulos retângulos e agora podemos fazer alguns cálculos (alturas de árvores ou qualquer outra coisa).

Por último, coloquei aos alunos a questão: e se pudéssemos produzir uma mesa para todos os ângulos possíveis? E, em seguida, entregue uma fotocópia de uma página do meu antigo livro de tabelas matemáticas de quatro dígitos (para Sine) - ok, não é todo ângulo possível, mas ... Usamos isso para mais alguns exemplos.

E, finalmente, chegamos à calculadora. Nesse ponto, não fico preocupado se os alunos imaginam que de alguma forma essas tabelas estão programadas na calculadora depois que alguém em algum lugar passou horas meticulosas medindo e calculando. O importante é que eles percebam (espero) que esses números não foram apenas retirados do nada, mas que eles têm uma base sólida.

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James S. Cook 2020-02-15 05:55.

Você pode vender seno e cosseno com base na expressão de quanto do triângulo retângulo em questão se alinha com o lado adjacente ou oposto.

Vamos definir a notação,

  • $A$ = comprimento lateral adjacente
  • $B$ = comprimento do lado oposto
  • $C$ = comprimento do lado da hipotenusa

Uma vez que o triângulo é considerado um triângulo retângulo, sabemos $A^2+B^2=C^2$. Deixei$\theta$ seja o ângulo entre $A$ e $C$.

  • a hipotenusa é o lado mais comprido; $A,B \leq C$
  • o único caminho para $A=C$ é aquele $\theta = 0^o$ (isso acontece quando $B=0$
  • se imaginarmos $A$ encolhendo a zero, vemos $\theta$ chega perto de $90^o$

Podemos introduzir seno e cosseno como dispositivos para expressar quanto de $C$ é usado em forjar $A$ ou $B$:

  • $A = C \cos \theta$
  • $B = C \sin \theta$

Aviso desde $A,B \leq C$ nós devemos ter $\cos \theta, \sin \theta \leq 1$. Além disso, quando$\theta = 0$ nós notamos $A=C$ conseqüentemente $\cos 0 = 1$ enquanto que $\sin 0 = 0$. Por outro lado, no caso de$A \rightarrow 0$ nós vimos $B=C$ e $\theta = 90^o$ conseqüentemente $\cos 90^o = 0$ enquanto que $\sin 90^o = 1$.

Claro, existem maneiras muito melhores. Mas talvez esta seja a direção que você busca?

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CopyPasteIt 2020-02-16 03:20.

A próxima seção é uma introdução / motivação para trigonometria. A apresentação não requer a definição do$\text{sin}$ função - é uma visão geral.


Por que não começar do início para descobrir como a intuição se encaixa no desenvolvimento antigo da trigonometria?

Aqui está algo para todos se maravilharem (esqueça as provas e abrace suas propriedades com sua mente) - o triângulo isósceles :

De uma forma natural, todo triângulo isósceles pode ser colocado dentro de um círculo com sua base (uma noção inequívoca, exceto quando o triângulo também é um triângulo equilátero) uma corda do círculo:

Os alunos devem entender que se soubermos $r$ e o ângulo $\theta$ que pode haver apenas um comprimento correspondente $s$ para o acorde e que tem a forma

$\tag 1 s = r * \text{crd}(\theta)$

Da wikipedia ,

Assim como a trigonometria moderna é construída sobre a função seno, a trigonometria antiga foi construída sobre a função acorde.

Lembre-se que um polígono regular pode ser caracterizado pelo número de seus lados e por seu circunradio (ou apenas raio), ou seja, a distância constante entre seu centro e cada um de seus vértices.

Exercício: Mostre que o perímetro de um polígono regular com$n$ lados e circunradius $r$ é dado pela fórmula

$\tag 2 P = n * r * \text{crd}(\frac{360°}{n})$

Era maravilhoso ter tal fórmula, mas para ser útil, os antigos precisavam de uma tabela de acordes e algumas técnicas de estimativa. Os alunos devem ser encorajados a folhear

$\quad$ Tabela de acordes de Ptolomeu

para obter uma apreciação dos poderosos dispositivos de cálculo que eles usam em nossa era de alta tecnologia.

Agora explique aos seus alunos que se alguém continuar trabalhando neste tipo de problemas geométricos, eles acabarão por abandonar o $\text{crd}(\theta)$ funcionar e preferir trabalhar com $\text{sin}(\theta)$, a função de meio acorde .

Por exemplo, temos estas fórmulas para nosso triângulo isósceles:

$\tag 3 \displaystyle r = \frac{s}{2 sin(\frac{\theta}{2})}$

$\tag 4 \displaystyle r = \frac{h}{cos(\frac{\theta}{2})}$

Incentive seus alunos a folhearem o artigo relacionado

$\quad$ Raio de um polígono regular

Sim, é desconfortável deixar o triângulo isósceles para trás, mas se alguém continuar seus estudos de matemática, pode chegar ao ponto de ver como a moderna 'teoria central' da trigonometria usando $\text{sin}(\theta)$, $\text{cos}(\theta)$ e $\text{tan}(\theta)$é muito mais do que apenas 'coisas e coisas extras' para memorizar. Na verdade, permite-nos 'fechar o círculo' e trabalhar com algo chamado fórmula de Euler , permitindo-nos maravilhar-nos novamente com


OK, chega de visão geral. É hora de começar a trabalhar com SohCahToa e examinar cuidadosamente$\text{(1)} - \text{(5)}$ como uma primeira lição nesta aula de trigonometria moderna.

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