Calcular $\lim_{x\to\infty}\biggr(x\sqrt{\frac{x}{x-1}}-x\biggr)$

$$\lim_{x\to\infty}\biggr(x\sqrt{\frac{x}{x-1}}-x\biggr)$$

Eu sei que este limite deve ser igual a $\frac{1}{2}$mas não consigo entender por quê. Isso é apenas uma das coisas que tentei resolver esse limite:
$$\lim_{x\to\infty}\biggr(x\sqrt{\frac{x}{x-1}}-x\biggr)$$ $$\lim_{x\to\infty}x\biggr(\sqrt{\frac{x}{x-1}}-1\biggr)$$Agora tento avaliar o limite. Eu sei disso$\lim_{x\to\infty}\sqrt\frac{x}{x-1}$ é igual a 1, o que significa que o limite acima é avaliado como $\infty * 0$que é forma indeterminada. Não sei o que fazer a seguir, ficaria muito grato por alguma ajuda.

Com $t:= \frac{x}{x-1}$ mostre isso

$$x\biggr(\sqrt{\frac{x}{x-1}}-1\biggr)= \frac{t}{\sqrt{t}+1}.$$

Você pode continuar?

$$x\sqrt{\frac{x}{x-1}}-x=\sqrt{\frac{x^3}{x-1}}-x=\sqrt{x^2+x+1+\frac{1}{x-1}}-x\\\approx \sqrt{x^2+x+\frac14}-x=\big(x+\frac12\big)-x=\frac12$$

Você pode racionalizar essa expressão, se preferir, mas eu gosto do truque de "completar o quadrado" para acabar logo com isso.

Dica:

Expansão binomial:

$\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac {1}{x-1}$

$(1+\dfrac{1}{x-1})^{1/2}=$

$1+(1/2)\dfrac{1}{x-1} +O((\dfrac{1}{x-1})^2)$

OU:

$y:=\sqrt{\dfrac{x}{x-1}};$ $y >0$;

$x= \dfrac{y^2}{y^2-1}$.

$\lim_{y \rightarrow 1}(\dfrac{y^2}{y^2-1})(y-1)=$

$\lim_{y \rightarrow 1}\dfrac{y^2}{y+1}=1/2.$

.

Dica: $$ \sqrt{\frac{x}{x-1}} - 1 = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}} = \frac{1}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x} + \sqrt{x-1})} \sim \frac{1}{2x} \; (x \to \infty) $$

Por aplicação da regra de L'Hopital:

$$\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{\frac{x}{x-1}}-1}{\frac{1}{x}}=\left(\frac{0}{0}\right)= \lim_{x\to +\infty}\frac{\left(\sqrt{\frac{x}{x-1}}-1\right)'}{\left(\frac{1}{x}\right)'}= \ldots= \frac{1}{2}\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{x^2}{(x-1)^2}}{\sqrt{\frac{x}{x-1}}}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac12.$$

$$\lim_{x\to\infty}x\left(\sqrt{\frac{x}{x-1}}-1\right)=\lim_{x\to\infty}x\left(\left(1-\frac1x\right)^{-1/2}-1\right)=\lim_{y\to\infty}\frac{(1-y)^{-1/2}-1}{y}=\frac12.$$

Por aproximação binomial

$$\sqrt{\frac{x}{x-1}}= \sqrt{1+\frac{1}{x-1}}= 1+\frac{1}{2(x-1)}+o\left(\frac1x\right)$$

Portanto

$$\biggr(x\sqrt{\frac{x}{x-1}}-x\biggr)= \frac{x}{2(x-1)}+o\left(1\right)\to \frac12+0=\frac12$$

Ela é uma forma elementar:

\ begin {eqnarray *} \ biggr (x \ sqrt {\ frac {x} {x-1}} - x \ biggr) & = & x \ biggr (\ sqrt {\ frac {x} {x-1}} -1 \ biggr) \\ & = & x \ biggr (\ frac {\ frac {x} {x-1} -1} {\ sqrt {\ frac {x} {x-1}} + 1} \ biggr ) \\ & = & x \ biggr (\ frac {1} {(x-1) \ sqrt {\ frac {x} {x-1}} + (x-1)} \ biggr) \\ & = & \ frac {1} {(1- \ frac {1} {x}) \ sqrt {1+ \ frac {1} {x-1}} + 1- \ frac {1} {x}} \\ & \ stackrel {x \ to \ infty} {\ longrightarrow} & \ frac {1} {(1-0) \ sqrt {1 + 0} + 1-0} = \ frac {1} {2} \ end {eqnarray * }