Os números duais podem ser estendidos para uma não potência de 2 dimensões?

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Nirvana 2019-10-23 20:33.

Os números complexos são construídos com os números reais, mas adicionam uma unidade desconhecida que quadrada para $-1$ (como nenhum número nos quadrados de reais para $-1$) chamado $i$para "imaginário", porque tais números foram considerados um hack na época de sua descoberta pelo matemático Bombeli. A soma de um número real e o produto de$i$ e um número real é chamado de número complexo, representado na forma $a+bi$. Esses números encontraram muitas aplicações devido à conexão entre a multiplicação do complexo polar e a rotação no plano 2D, como$(r,\theta)*(s,\iota)$ = $(rs,\theta+\iota)$.

Logo após a descoberta ou invenção dos números complexos, as pessoas tentaram ver se o comportamento rotacional da multiplicação complexa anteriormente mencionado poderia ser estendido para 3 dimensões. William Hamilton, pessoa conhecida por criar quatérnios, propôs que um número tricomplexo representado como$a+bi+cj$ Onde $i^2=j^2=ij$resolveria, mas logo percebeu que precisava de um sistema quadridimensional, com três dimensões para a rotação e uma para outras medidas. Esse sistema funcionou e ficou conhecido como quatérnions, do prefixo latino quaterna, que significa 4.

Mas a próxima álgebra baseada em real a encontrar um uso depois dos quatérnions foram as octonions, que têm 8 dimensões. O próximo depois disso é chamado de sedenions e tem 16 dimensões, e o próximo depois disso tem 32 e assim por diante, com cada dimensão sendo uma potência de 2. Um teorema conhecido como teorema de Frobenius prova que essas potências -2 álgebras são as únicas álgebras de divisão baseadas em complexo, portanto, é impossível ter um número de 3 ou 5 íons sem abrir mão do fechamento sob divisão.

No entanto, outra álgebra baseada em reais conhecida como os números duais pode ser capaz de combater isso, principalmente porque eles não são uma álgebra de campo / divisão para começar. Números duplos são números da forma$a+b\epsilon$, Onde $\epsilon^{2} = 0 $ e $\epsilon \ne 0$e tem algumas aplicações, como diferenciação automática. Eles não são um campo porque$a/b\epsilon$ é indefinido, pois isso seria o equivalente a dizer $\sqrt{a/0}$, que explode ao infinito, mas eles são um anel. Por não serem um campo devido a esse caso de componente não real, é possível estender os números duais a qualquer dimensão e mantê-los em um anel, sem violar o teorema de Frobenius, pois não são um campo em um nicho caso onde os componentes reais são 0? (Por exemplo, um número de teste ou 3-dual seria$a+b\epsilon+c\zeta$ Onde $\epsilon^2 = \zeta^2 = \epsilon\zeta = 0$ e $\epsilon \ne \zeta \ne 0$)

1 answers

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Douglas Molin 2019-10-23 21:02.

Primeiro, observe que os números duais usuais (em um campo $k$) pode ser percebido como o anel quociente $k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$. Mais geralmente, se$m:=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)\subseteq R:=k[\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n],$ de modo a $m^2=(\{\varepsilon_i\varepsilon_j\}_{1\leq i\leq n, \\ 1\leq j\leq n}), $ elementos no anel quociente $R/m^2$ são da forma $a_0+a_1\varepsilon_1+\dots+a_n\varepsilon_n$, e $\varepsilon_i\varepsilon_j=0$ para todos $i, j$.

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