체인의 다음 원을 그리는 다음 접선 원 체인이 주어지면

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hellofriends 2020-08-01 19:32.

체인은 노란색 원에서 나온 것입니다.

내가 원하는 것은 이전의 모든 원이 주어진 다음 노란색 원을 그리는 방법입니다.

나는 첫 번째 원을 그리는 법을 안다. $(P_0Q_0X)$.

나는 (사진에 이름이없는) 연락처를 알고 $n-th$ 동그라미 $n+1-th$ 하나는 원을 중심으로 $H = P_0Q_0 \cap BC$ 통과 $C$.

나는 대사를 안다 $P_nQ_n$ 모두 만나다 $H$.

나는 쿼드를 안다 $P_nP_{n+1}Q_{n+1}Q_n$ 주기적입니다.

나는 여전히 이전 원을 고려하여 다음 원을 구성하는 간단한 방법을 찾을 수 없습니다. 트릭을 수행 할 수있는 하나 또는 두 개의 반전이 있다는 것을 알고 있지만 반전을 찾는 유혹을 피하는 것이 좋습니다.

증명할 수 없지만 원은 알아 $P_nQ_nC$ 접하다 $BC$ ...에서 $C$

편집 : 또한이 특정 문제에서 일부 대칭을 보여줄 수 있는지 확인하지 않는 한 일반 apollonius 솔루션을 사용하지 마십시오. 예를 들어, 두 원 사이의 접점이$H$ 통과 $C$ 우리는 전체가 필요하지 않습니다 $CCC$ 하지만 우리는 사용할 수 있습니다 $PCC$ (물론 여러분은 더 많은 단순화를 보여 주어야합니다)

2 answers

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brainjam 2020-08-06 07:10.

편의를 위해 여기에 다이어그램을 복사합니다. 중심이있는 원을 참조하겠습니다.$L$ 파란색 원과 중심이있는 원으로 $B$ 흰색 원으로.

이전 원이 주어 졌을 때 빈 노란색 원을 찾으려고합니다. $P_3Q_3C_3$, 어디 $C_3$ 이름이없는 연락처입니다.

반전을 이용한 시공 : 원용$c$ 포인트를 통해 $P_n,Q_n,C$, 우리는 반전 할 수 있습니다 $P_{n-1}$$Q_{n-1}$$c$ 얻기 위해 $P_{n+1}$$Q_{n+1}$. 또한 접점을 구성 할 수 있다고 언급했습니다. 따라서 처음 두 개의 원이 생성되면 나머지 원을 구성하기 위해 도약 할 수 있습니다.

이를 표시하려면 중앙이있는 원의 다이어그램을 반전하십시오. $C$.

반전을 사용하지 않는 구성 : Let$L'$ 파란색 원의 위쪽 절반에있는 점이 $L'L$ 에 수직이다 $BO_3$. 그럼$Q_4$ 다른 교차점 $L'P_3$ 파란색 원으로.

마찬가지로 $B'$ 흰색 원의 아래쪽 절반에있는 점이 $B'B$ 에 수직이다 $LO_3$. 그럼$P_4$ 다른 교차점 $B'Q_3$ 흰색 원으로.

이제 빈 노란색 원의 세 점이 있으므로 원과 그 중심을 구성 할 수 있습니다.

참고 1 : 이것은 Eppstein 's의 구성을 수정 한 것입니다.https://www.ics.uci.edu/%7Eeppstein/junkyard/tangencies/apollonian.html 그리고 정말 $PCC$아폴론 건축. 이 문제는 쌍곡선 삼각형의 내심을 찾는 것과도 동일합니다. 바라가와 콘 토로 비치https://arxiv.org/pdf/1704.08747.pdf 더 짧은 구조를 가지고 있다고 주장하지만 나는 그것을 시도하지 않았습니다.

참고 2 : 원이$P_nQ_nC$ 접하다 $BC$ 원을 중심으로 반전하여 $C$. 수직선에 매핑됩니다.

2
YNK 2020-08-08 00:38.

우리는 포인트를 사용합니다 $H$그리고 그의 포스트에서 OP가 언급 한 체인의 인접한 원의 모든 접점을 통과하는 원. 그런데$H$ 세그먼트에 있습니다. $LB$ 거리 $\frac{a}{6}$ 지점에서 멀리 $L$.

두 끝점으로 표시된 앞서 언급 한 원을 그려서 건설을 시작합니다. $C$$D$ 그 중심은 $H$. 또한 반경은$HM_{01}$. 요점을 기억하십시오$M_{01}$이 순간 이미 사용할 수 있습니다. 이 원은 원을 자른다$O_1$ ...에서 $M_{12}$. 선 그리기 및 연장$O_1 M_{12}$. 우리는 체인의 추구하는 원의 중심이이 선에 있다는 것을 알고 있습니다.

이제 두 개의 선을 그립니다 $M_{12}H$$O_1L$. 라인$O_1L$ 접점을 통과 $Q_1$파란색과 노란색 원의 그런 다음 수직선을 그립니다.$O_1L$ ...에서 $Q_1$ 교차하다 $M_{12}H$ ...에서 $N$. 반지름이있는 보조 원 만들기$Q_1N$ 그 중심을 $N$. 이 원은 파란색 원을 만나$Q_2$. 라인$Q_2N$파란색 원의 공통 접선과 원 체인에서 찾는 멤버입니다. 더욱이,$Q_2$이 두 원의 접점입니다. 따라서 찾는 원의 중심은 선의 확장 부분에 있습니다.$Q_2L$.

이제 우리는 찾는 원의 중심을 품는 두 개의 선이 있습니다. $O_1 M_{12}$$Q_2L$. 따라서 요점$O_2$이 두 선이 만나는은 원 체인의 다음 멤버의 중심입니다. 구성을 완료하려면 반경으로 원을 그립니다.$O_2Q_2$ 또는 $O_2M_{12}$ 취득 $O_2$ 그 중심으로.

$\underline{\mathrm{Added\space at\space OP’s\space Request\space …}}$

세 개의 원 (예 : 녹색, 노란색 및 파란색 원)이 외부에서 서로 닿는 기하학적 구성에는 고유 한 점이 있습니다 (이 경우 $N$), 세 개의 공통 접선이 일치합니다. 따라서이 점을 얻기 위해 세 가지 공통 접선 중 두 개를 그릴 수 있습니다. 즉, 두 공통 접선의 교차점 (예 :$NM_{12}$$NQ_1$)는 우리에게이 점을 제공합니다. 그것이 우리가 포인트를 얻은 방법입니다$N$처음에. 사용$Euclid\space Theorem\space 59$,이 점에서 한 쌍의 원의 각 접점까지의 세 거리가 동일 함을 보여줄 수 있습니다. 그래서 반지름이있는 보조원을 만들었습니다.$Q_1N$ (또는 $NM_{12}$) 및 그 중심을 $N$. 이 원은 파란색 원을$Q_2$ 세 번째 공통 탄젠트를 $NQ_2$. 이제 노란색 원에 닿는 고유 한 원이 있다는 것을 알고 있습니다.$M_{12}$ 파란색 원은 $Q_2$외부 적으로. 이 원의 중심은 두 선의 교차점에 있습니다.$O_1 M_{12}$$Q_2L$. 이 녹색 원의 반경은 다음과 같이 선택됩니다.$O_2 Q_2$ 원주가 포인트를 통과하도록 $Q_2$.

그러나 우리가 얻은 녹색 원이 내부적으로 빨간색 원과 접촉한다고 명시 적으로 언급하지 않았기 때문에 이야기는 여기서 끝나지 않습니다. 이것은 삼각법을 사용하여 증명할 수 있습니다. 그러나 먼저 우리는 다음과 같은 주장을하고 싶습니다. 녹색 원이 잘 리거나 빨간색 원에 닿지 않으면 내부에서 빨간색 원에 닿는 다른 원과 노란색 원을 터치하는 동안 외부에서 파란색 원에 닿는 다른 원을 찾을 수 없기 때문에이 문제는 해결되지 않습니다.$M_{12}$ 외부 적으로.

증빙 자료를 게시하려면 저희에게 알려주십시오.

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