그것을 어떻게 증명합니까? $\int_0^\infty \frac{\sin(2x)}{1-e^{2\pi x}} dx = \frac{1}{2-2e^2}$?

3
Casimir Rönnlöf 2020-06-14 16:28.

기술 덕분에 다음과 같은 결과를 알고 있습니다. https://iquestion.pro/ko/q/ma15818910/tonghab-chag-yu:

$$\int_0^\infty \frac{\sin(2x)}{1-e^{2\pi x}} dx = \frac{1}{2-2e^2}$$

그래서 나는 결과에 대한 증거 (이 질문이 풀기 어렵다면 나중에 여기에 나열 할 수 있습니다)를 가지고 있지만, 적분으로 시작한다면 풀 수 없을 것입니다. 확장과 교체 등 몇 가지를 시도했지만 아무데도 오지 않았습니다.https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral%20from%200%20to%20infinity%20of%20sin%282t%29%2F%281-e%5E%282pit%29%29dt 닫힌 형식은 없지만 원하는 경우 숫자로 확인할 수 있습니다.

결과를 모르고 적분을 어떻게 풀겠습니까?

4 answers

6
Ty. 2020-06-14 23:40.

분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다. $e^{2\pi x}$: $$I=-\int_0^{\infty} \frac{e^{-2\pi x} \sin{(2x)}}{1-e^{-2\pi x}} \; dx$$ $$I=-\int_0^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} e^{-2\pi x n} \sin{(2x)} \; dx$$ Fubini 정리로 인해 우리는 합과 적분을 교환 할 수 있습니다. $$I=-\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^{\infty} e^{-2\pi x n} \sin{(2x)} \; dx$$ 그런 다음 부분 별 통합을 사용합니다. $$I=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 \pi^2 n^2+2}$$ $$I=-\frac{1}{4} \left( \coth{1}-1\right)$$ $$I=\frac{1}{2-2e^2}$$

5
Mark Viola 2020-06-14 23:32.

힌트:

분모를 다음과 같이 확장하십시오.

$$\frac{1}{1-e^{2\pi x}}=-\sum_{n=0}^{\infty}e^{-2(n+1)\pi x}$$

그런 다음 시리즈가 남습니다.

$$-\frac1{2}\,\sum_{n=1}^{\infty} \frac1{\pi^2 n^2+1}$$

예를 들어 등고선 적분 또는 푸리에 시리즈 및 파스 발의 정리를 사용하여 시리즈를 닫힌 형태로 찾을 수 있습니다. 보다https://math.stackexchange.com/questions/3717053/find-sum-n-1-infty-a-2n2b-2n2-textwhere-ex-a-0-sum/3717227#3717227 예로서.

3
Felix Marin 2020-07-15 11:53.

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ 이것은의 흥미로운 응용 프로그램입니다 https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Plana_formula: \ begin {align} {1 \ over 1-\ expo {-2}} & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ expo {-2n} \\ & = \ overbrace {\ int_ {0 } ^ {\ infty} \ expo {-2n} \ dd n} ^ {\ ds {1 \ over 2}} \ + \ \ overbrace {\ left. {1 \ over 2} \ expo {-2n} \ right \ vert _ {\ n \ = \ 0}} ^ {\ ds {1 \ over 2}} \-\ 2 \, \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ Im \ pars {\ expo {-2 \ ic x}} \ over \ expo {2 \ pi x}-1} \, \ dd x \\ [5mm] {1 \ over 1-\ expo {-2}} & = {1 \ over 2} + { 1 \ over 2} + 2 \, \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ sin \ pars {2x} \ over \ expo {2 \ pi x}-1} \, \ dd x \\ [5mm] \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ sin \ pars {2x} \ over 1-\ expo {2 \ pi x}} \, \ dd x & = {1 \ over 2} \ pars {1-{ 1 \ over 1-\ expo {-2}}} = \ bbox [15px, # ffd, border : 1px 단색 네이비] {1 \ over 2-2 \ expo {2}} \ \ approx \ -0.0783 \\ & \ end {정렬}


이 적분은 처음이었습니다 https://archive.org/details/ACourseOfModernAnalysis/page/n129/mode/2up.

2
Claude Leibovici 2020-06-15 12:58.

계산을 위해 $$I=\int_0^{\infty} e^{-2\pi x n} \sin{(ax)} \; dx$$부품 별 통합도 필요하지 않습니다. 다음과 같이 작성하십시오. $$I=\Im\left(\int_0^{\infty} e^{-2\pi x n} e^{iax} \; dx \right)=\Im\left(\int_0^{\infty} e^{-(2\pi n-ia)x} \; dx \right)=\Im\left(\frac{1}{2 \pi n-i a}\right)=\frac{a}{4 \pi ^2 n^2+a^2}$$

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