고유 벡터 방법 Vs 상관없는 좌표 변환 방법

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GENIVI-LEARNER 2020-05-30 07:12.

그래서 저는 일반적으로 Normed eigen-vector는 원래 문제를 상관없는 상태로 변환하는 것을 목표로합니다. 그러나 다음에 따르면https://youtu.be/qKzI7zlRpBs?t=584 새로운 좌표계로의 변환은 (사인 및 코사인)을 사용하여 수행됩니다.

방정식 가정 $ax^2+bxy+cx^2$ 해당 매트릭스 포함 :

$$\begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$$

질문 : 상관 관계가없는 좌표계를 찾는 두 가지 방법은 어떤 관련이 있습니까?


부분 솔루션 :

이미지에 대한 링크에 따라 정상적인 변환에서 우리는 $cot(2\theta)=\frac{a-c}{b}$ 고유 벡터 프로세스에서는 다음과 같이 주성분에서 람다를 빼서 위 행렬의 행렬식을 사용합니다.

$$det\begin{bmatrix} a-\lambda & b \\ b & c-\lambda \end{bmatrix}$$

나는 두 가지가 서로 어떻게 관련되는지에 대한 설명을 찾고 있습니다. 단순한 사인과 코사인이 긴 표준 고유 벡터 찾기 프로세스와 같이 더 적은 단계에서 동일한 작업을 수행하는 방법에 대한 설명을 찾고 있습니다.

1 answers

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Pythagoras 2020-07-15 11:50.

에 의해 https://brilliant.org/wiki/spectral-theorem/, 모든 실제 대칭 행렬은 직교 대각선 화 될 수 있습니다. $A$ 실제 대칭이면 직교 행렬이 있습니다. $Q$ 그런 $Q^TAQ=D$, 어디 $Q^T=Q^{-1}$$D$ 대각 행렬입니다.

여기 상황에서는 2 차 형태를 연관시킬 수 있습니다. $f:=ax^2+bxy+cy^2$ 대칭 행렬로 $A$ 다음과 같은 방식으로 : $$f=X^TAX,$$ 어디 $$A=\left[\begin{array}{cc}a&\frac b2\\ \frac b2&c\end{array}\right]~{\rm and~}X=\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right].$$

위의 스펙트럼 정리에서 $Q$ 단위 길이의 (열) 고유 벡터의 기저로 구성됩니다. $D$ 다음의 고유 값으로 구성된 대각 행렬입니다. $A$고유 벡터와 호환됩니다. 예를 들어$A$ 고유 값이 있음 $\lambda_1\geq \lambda_2$, 연관된 단위 고유 벡터와 함께 $X_1,X_2$, 다음에 대한 일반적인 선택 $Q$ 이다 $Q=[X_1,X_2]$ 그런 $\det Q=1$ (즉 $X_2$ 에서 얻은 $X_1$ 돌려서 $90^\circ$시계 반대 방향). 이 점을 염두에두고$A=QDQ^T$$$f=X^TQDQ^TX=(Q^TX)^TD(Q^TX).$$ 시키는 $X'=\left[\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right]=Q^TX$ (그래서 $X=QX'$) 및 $D={\rm diag}(\lambda_1,\lambda_2)$, 하나는 $$f=X'^TDX'=\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2.$$

이제 왜 사람이 걸릴 수 있는지에 대한 질문을 $Q$ 형태의 행렬이되는 것 $$Q=\left[\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{array}\right]~{\rm with~}\cot(2\theta)=\frac{a-c}b,$$ 직교 행렬에 대해 첫 번째 열 벡터를 비교하면됩니다. $Q$: 이후 $\det Q=1$, $Q$ 다음의 고유 벡터 중 하나에 해당하는 첫 번째 열 벡터 (두 번째 열 벡터는 위와 같이 회전에 의해 획득 됨)에 의해 결정됩니다. $A$, 고유 값으로 말하십시오 $$\lambda_1=\frac{(a+c)+\sqrt{(a-c)^2+b^2}}2$$ 고유 벡터는 시스템을 만족해야합니다. $$\left\{\begin{array}{c}(a-\lambda_1)x+\frac b 2=0\\ \frac b 2x+(c-\lambda_1)y=0\end{array}\right..$$ 확장에 이르기까지 솔루션은 다음과 같습니다. $$X_1=k\left[\begin{array}{c}\frac b 2\\ \lambda_1-a\end{array}\right].$$ 이것을 비교 $$\left[\begin{array}{c}\cos\theta\\ \sin\theta\end{array}\right],$$ 하나는 $$\tan\theta=\frac{\lambda_1-a}{\frac b 2}=\frac{\frac{a+c+\sqrt{(a-c)^2+b^2}}2-a}{\frac b 2}=\frac{c-a+\sqrt{(a-c)^2+b^2}}b,$$ 약간의 대수 후에.

증명을 마치려면 $\cot(2\theta)=\frac{a-c}b$, 하나는 다음과 같은 삼각 ID를 사용합니다. $$\cot(2\theta)=1/\tan(2\theta),\tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}.$$ 그것은 다음과 같습니다 $$\cot(2\theta)=\frac{1-\tan^2\theta}{2\tan\theta}$$ $$=\frac{1-\frac{\left((c-a)^2+\sqrt{(a-c)^2+b^2}\right)^2}{b^2}}{2\cdot\frac{c-a+\sqrt{(a-c)^2+b^2}}b},$$ 단순화 할 수 있습니다. $$\frac{a-c}b,$$ 필요에 따라.

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