$ \cap_{p}\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}\frac{1}{m}\sum_{n=1}^{m}{C_n}\subset \cap_{p}\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{C_m} $

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Made 2020-04-24 14:48.

허락하다 $X$ 분리 가능한 Banach 공간이고 $ w$ 우리는 약한 토폴로지를 나타냅니다. $X$.

허락하다 $\mathcal{P}_{wkc}(X)$ 비어 있지 않은 모든 컬렉션 $w$-압축 볼록 부분 집합 $X$.

허락하다 $\{C_n\}$ 순서가있다 $\mathcal{P}_{wkc}(X)$. 그런 다음 : $$ \cap_{p}\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}\frac{1}{m}\sum_{n=1}^{m}{C_n}\subset \cap_{p}\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{C_m} $$

와: $\overline{\text{co}}(A)=\overline{\left\{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}:n\in \mathbb {N} ,\,x_{i}\in A,\,\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}= 1\right\}}.$

증명:

모든 $p \geq 1$ $$ \overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\big(\frac{1}{m}C_1+ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}\big) }\subset \overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\frac{1}{m}C_1}+\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}}\qquad (*) $$ 오른쪽은 닫혀 있습니다. $\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\frac{1}{m}C_1}$ 이다 $w$-콤팩트. 모든 교차로를 타면$p$ 이렇게 얻는다 $$ \cap_p\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\big(\frac{1}{m}C_1+ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}\big) }\subset \cap_p\bigg( \overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\frac{1}{m}C_1}+\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}}\bigg) $$ 다음 기본형으로 :

허락하다 $\{C_n\}$ 구성하다 $w$-컴팩트하고 $\{D_n\}$$w$-닫힌 하위 집합 $X$. 그것을 가정$\{C_n\}$$\{D_n\}$ 둘 다 증가하지 않습니다. 그때: $$\cap_{n}{ (C_n + D_n)} = \cap_{n}{C_n} + \cap_{n}{D_n}.$$

이것은 준다 $$ \cap_p\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\big(\frac{1}{m}C_1+ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}\big) }\subset \cap_p\bigg( \overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\frac{1}{m}C_1}\bigg)+\cap_p\bigg(\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}}\bigg)\qquad (**) $$

확인하기 쉽습니다. $\cap_p\bigg( \overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\frac{1}{m}C_1}\bigg)$ 실제로는 $\text{co}\big(\{0\}\cup \frac{1}{p}C_1\big)$ (참고 $\{0\}\cup \frac{1}{p}C_1$, 존재 $w$-콤팩트하고 볼록한 선체가 있습니다. $w$-콤팩트). 따라서 즉시 다음과 같습니다.$\cap_p\bigg( \overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\frac{1}{m}C_1}\bigg)$ 와 동등하다 $\{0\}$, 경계를 고려하여 $C_1$. 교체$(**)$ 준다 $$ \cap_p\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\big(\frac{1}{m}C_1+ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}\big) }\subset \cap_p\bigg(\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}}\bigg)\subset \cap_p\bigg(\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\big(\overline{\text{co}}\cup_{n=2}^{m}{C_n}\big)}\bigg) $$ 이것은 $$ \cap_p\overline{\text{co}}\cup_{m\geq p}{\big(\frac{1}{m}C_1+ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}\big) }\subset \cap_p\bigg(\overline{\text{co}}\cup_{n\geq 2}{C_n}\bigg)=\overline{\text{co}}\cup_{n\geq 2}{C_n} $$ 증명은 이제 귀납법으로 쉽게 완성됩니다.

내 문제 : 왜 우리가$(*)$?

1 answers

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Alex Ravsky 2020-05-04 07:44.

Banach 공간에서 볼록한 세트의 폐쇄는 볼록하기 때문에 오른쪽은 $R$ 의 ($*$)는 볼록합니다. 또한 닫혀 있기 때문에 ($*$) 다음과 같이 언급하면 ​​충분합니다. $R$ 세트 포함 $\frac{1}{m}C_1+ \frac{1}{m}\sum_{n=2}^{m}{C_n}$ 각각 $m\ge p$.

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