이러한 속성을 가진 두 개의 별개의 자연수 쌍이 존재하지 않음을 증명

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Akhmad Sumekenov 2019-08-21 01:28.

문제는 존재하지 않음을 증명하거나 자연수의 두 쌍 (순열까지)이 존재 함을 보여주는 것입니다. $(a, b)$$(c, d)$$$\operatorname{lcm}(a, b) = \operatorname{lcm}(c, d)$$ $$\gcd(a, b) = \gcd(c, d)$$$$\frac{a + b}{2} = \frac{c + d}{2}$$

LCM과 GCD가 모두 같으면 두 쌍이 동일한 제품과 동일한 합계와 동일한 GCD를 갖는다는 것을 쉽게 보여줄 수 있습니다. 나는 이러한 조건에서 두 개의 별개의 쌍이 존재할 수 없다는 직관을 가지고 있지만 그것을 엄격하게 증명하는 방법은 불분명합니다.

4 answers

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Teresa Lisbon 2019-08-21 01:38.

물론 아닙니다.

이는 두 숫자의 곱이 gcd와 lcm의 곱이기 때문입니다.

따라서 $(a,b) = (c,d)$$\operatorname{lcm}[a,b] = \operatorname{lcm}[c,d]$ 그런 다음 제품을 복용하면 $ab = cd$.

또한 기본적으로 $a+b = c+d$. 이것을 제곱하고 방정식을 뺍니다.$4ab = 4cd$ 양쪽에서 제곱근을 취하여 $|a-b| = |c-d|$. 결과적으로$a-b = c-d$ 또는 $b-a = c-d$. 그게$(a,b)$ 순열 $(c,d)$.

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Matthew Daly 2019-08-21 01:42.

두 쌍의 숫자에 LCM이 $x$ 및 GCD $y$이면 동일한 제품 (예 : $xy$). 두 쌍의 숫자의 평균이$z$이면 둘 다 동일한 합계 (예 : $2z$).

따라서 $\{a,b\}$$\{c,d\}$합계 S와 제품 P가 같으면 구별 할 수 있습니까? 아니요. 그래프$x+y=S$ 평행선 $y=-x$및 그래프 $xy=P$직사각형 쌍곡선입니다. 그 연립 방정식은 두 개의 해를 가지고 있으며 선에 대해 대칭입니다.$y=x$.

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Bill Dubuque 2019-08-21 02:36.

우리는 $\ a\!+\!b= c\!+\!d,\ $ $\,ab = cd\,$ 사용 https://math.stackexchange.com/a/1318902/242

그러므로 $\,(x\!-\!a)(x\!-\!b) = (x\!-\!c)(x\!-\!d)\,$ 뿌리가 같아서 $\,\{a,b\} = \{c,d\}$

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Matteo 2019-08-21 01:50.

그러한 정수가있는 경우 $a,b,c,d$ 조건을 충족하면 시스템에서 생성됩니다. $$\left\{\begin{matrix} a+b=c+d \\ab=cd \end{matrix}\right.$$

이것에서 나는 obtai, 대체 $a=\frac{cd}{b}$: $c(d-b)=b(d-b)$, 그래서 $c=b$ 첫 번째 방정식에서 $a=d$.

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