증명하는 방법 $ \frac{\ln^k(1+x)}{k!}=\sum_{n=k}^\infty(-1)^{n-k} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}\frac{x^n}{n!}$

3
Ali Shadhar 2019-07-13 08:56.

첫 번째 종류의 스털링 번호를 포함하는 다음 공식을 증명하십시오. $$\frac{\ln^k(1+x)}{k!}=\sum_{n=k}^\infty(-1)^{n-k} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}\frac{x^n}{n!}$$ 어디 $\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}$ 첫 번째 종류의 스털링 번호입니다.

나는이 공식을 사용한다 (찾을 수있다 https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_first_kind) 내 솔루션에 많이 있지만 아직 증거를 찾지 못했습니다. 그것을 증명하는 방법이나 증명을 어디에서 찾을 수 있는지에 대한 아이디어가 있습니까?

고조파 수를이 공식과 매우 관련이 있다고 태그 지정합니다.

감사합니다.

1 answers

4
mrtaurho 2019-07-13 17:30.

댓글 섹션에서 언급했듯이 https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_first_kind따라서 여기에서 일종의 고조파 번호를 호출 할 필요가 없습니다. 함수 생성 하위 섹션에서 결국 다음 단락을 찾습니다.

다양한 정체성은 https://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function: \ begin {align *} H (z, u) = (1 + z) ^ u & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ binom unz ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {z ^ n} {n!} \ sum_ {k = 0} ^ ns (n, k) u ^ k \\ & = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty u ^ k \ sum_ {n = k} ^ \ infty \ frac {z ^ n} {n!} s (n, k) \ end {align *} 같음 사용 $$(1+z)^u=e^{u\log(1+z)}=\sum_{k=0}^\infty(\log(1+z))^k\frac{u^k}{k!}$$ 그것은 다음과 같다 $$\sum_{n=k}^\infty(-1)^{n-k}\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}\frac{z^n}{n!}=\frac{(\log(1+z))^k}{k!}$$

여기에 사용 된 중요한 관계는 다음과 같습니다.

\ begin {정렬 *} & 1. && (x) _n ~ = ~ \ sum_ {k = 0} ^ ns (n, k) x ^ k \\ & 2. && s (n, k) ~ = ~ (-1) ^ {nk} \ begin {bmatrix} n \\ k \ end {bmatrix} \ end {align *}

내가 말할 수있는 한 (스털링 넘버를 전혀 경험하지 못함), 제 1 종 스털링 넘버의 매우 기본적인 속성입니다.

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