2 차 정의 가능한 하위 집합은 얼마나 일찍 $\mathbb{N}$ 건설 가능한 우주에서 발생합니까?

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Keshav Srinivasan 2019-05-14 01:17.

$ZFC+V=L$ 그것을 의미 $P(\mathbb{N})$ 의 하위 집합입니다 $L_{\omega_1}$. 그러나 나는 건설 가능한 우주의 어떤 층이 더 작은 집합을 포함하는지 궁금합니다.

내 질문은 가장 작은 서 수가 무엇입니까? $\alpha$ 모든 공식에 대해 $\phi(n)$ 2 차 산술 언어로 $\{n\in\mathbb{N}:\phi(n\}\in L_\alpha$? 이것은 우리가 가정하는지 여부에 달려 있습니까?$V=L$?

나는 추측하고있다 $\alpha>\omega_1^{CK}$, 그리고 $\alpha$ 서수보다 큼 $\beta_0$ 내 질문에서 논의 https://iquestion.pro/ko/q/ma16221825/ui-hawi-jibhab-eul-seolmyeong-hal-su-issseubnikka-mathbb-n-geonseol-ganeunghan-ujuui-hugi-cheung-eseo-balsaenghabnikk. 그러나 그것에 대해 더 말할 수 있습니까?

2 answers

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Noah Schweber 2019-05-14 10:28.

그런 것이 없다는 것은 일관됩니다 $\alpha$.

보다 정확하게는 공식이 있다는 것이 ZFC와 일치합니다. $\varphi$ 2 차 산술 언어로 $\{x:\varphi(x)\}$건설 할 수 없습니다. 예를 들면$0^\sharp$ 존재하는 경우이 속성이 있습니다 (그것은 $\Delta^1_3$-존재하는 경우 정의 가능).


편집 : 물론 V = L이면 그런 $\alpha$사소하게 존재합니다. 이 답변의 나머지 부분에서는 V = L이라고 가정 합니다.

요점은 1 차 공식 사이에 "정의 가능한 번역"이 있다는 것입니다. $L_{\omega_1}$ 2 차 산술 공식 :

  • 한 방향은 즉각적입니다. 모든 2 차 산술 공식은 다음에서 다시 표현할 수 있습니다. $L_{\omega_1}$ 내추럴 세트는 이미 $L_{\omega_1}$.

  • 다른 방향은 흥미로운 것입니다. 기초가 잘 된 나무$T\subset\omega^{<\omega}$ (우리는 확실히 하위 집합을 결합 할 수 있습니다. $\omega$ 및 하위 집합 $\omega^{<\omega}$, 그리고 잘 근거가있는 트리 세트가 2 차 정의 가능함) , 우리는 재귀 적으로 맵을 정의합니다.$Set_T$ 노드에서 $T$ 설정, 설정 $$Set_T(\sigma)=\{Set_T(\sigma^\smallfrown \langle k\rangle): k\in\omega, \sigma^\smallfrown\langle k\rangle\in T\};$$ 예를 들어 $\sigma$ 잎이다 $T$ 그때 $Set_T(\sigma)=\emptyset$. 그런 다음$Set(T)=Set_T(\langle\rangle)$ 빈 문자열에 할당 된 집합 (= $T$). 관계를 쉽게 확인할 수 있습니다. "$Set(T_0)=Set(T_1)$"및"$Set(T_0)\in Set(T_1)$"는 2 차 산술로 정의 할 수 있습니다. $L_{\omega_1}$ 으로 $\mathcal{P}(\omega)$.

투영 적으로 정의 할 수있는 실수는 정확하게 1 차 구조의 매개 변수없이 정의 할 수있는 요소입니다. $(\omega,\mathcal{P}(\omega); +,\times,\in)$, 위의 번역은 세트로 식별합니다. $M$ 1 차 구조의 매개 변수없이 정의 가능한 요소 $(L_{\omega_1}; \in)$ (내가 공감할 $L_{\omega_1}$).

마지막 요점은 $L$ 정의 가능한 Skolem 기능이 있습니다. $M$ 사실의 기본 하위 모델입니다 $L_{\omega_1}$ 따라서$^1$ $M=L_\eta$ 일부 $\eta$. 이$\eta$ 정확히 우리입니다 $\alpha$. 그건:

V = L 가정, $\alpha$ 가장 작은 기본 하위 모델의 높이입니다. $L_{\omega_1}$.

특히 이것은 $\beta_0$, 이후 $\beta_0$ 매개 변수없이 정의 할 수 있습니다. $L_{\omega_1}$.


$^1$이것은 귀여운 사실입니다. Condensation Lemma만으로는 이것을 없앨 수 없습니다. Condensation을 적용하려면$M$전 이적입니다. 그러나 선험적으로, 그것이 필요하다는 것은 분명하지 않습니다. 예를 들어, 셀 수있는 기본 서브 모델은$L_{\omega_2}$분명히 전이 될 수 없습니다.$\omega_1$ 요소로.

그래서 특별한 것은 $\omega_1$여기? 여기서 트릭은 다음과 같습니다.

가정 $A$ "충분히 닫힌"전이 집합 (= 포함 $\omega$ 그리고 그 eveyr 셀 수있는 요소 $A$ 내에서 셀 수 있습니다 $A$)-예 : $A=L_{\omega_1}$ -그리고 $B$ 의 기본 하위 구조입니다. $A$ (전 이적 세트를 해당 $\{\in\}$-평소와 같은 구조). 그런 다음 셀 수있는 서수 세트$A$ 아래쪽으로 닫힙니다.

대략적인 증거 : 가정$\theta$ (WLOG 무한) 셀 수있는 서수 $A$$\gamma<\theta$. 이후$A$ 우리가 가지고있는 가산 성을 정확하게 계산합니다. $A$ an $f: \omega\cong\theta$. "내려가는"원소로$B$ 일부 포함 $g$ 어느 $B$ 의 bijection이라고 생각합니다 $\omega$ ...에 $\theta$; 원 소성 "상승"으로$A$ 또한 생각 $g$이다. 그래서 (일하는$A$) 약간 있습니다 $n\in\omega$ 그런 $g(n)=\gamma$; 하지만 그때부터$n\in\omega$ 우리는 $n\in B$ (우리는 자연수를 "잃을"수 없습니다!) 그래서 $g(n)=\gamma\in B$ 게다가. $\Box$

추가 폐쇄성 가정을 사용하여 위의 관찰을 일반화 할 수 있습니다. $B$ 충분히 닫힌 전이 집합의 기본 하위 모델입니다. $A$$\omega_1\subseteq B$ 그때 $B\cap\omega_2$ 아래로 닫혀 있습니다 (위의 인수를 실행하면 $dom(g)\subset B$).

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Not Mike 2019-05-15 03:41.

당신이 원하는 것은 가장 적습니다 $\delta \in \mathsf{On}$ 그런 $L_\delta \vDash "\mathsf{ZFC}^{-}+V=HC"$ (어디 $V=HC$ 모든 세트가 유 전적으로 셀 수 있다는 주장입니다.) 이론 이후 "$\mathsf{ZFC}^{-} + V=HC$"는 2 차 산술로 양방향 해석이 가능하며 2 차 이해의 상대화 된 버전을 얻을 수 있습니다.

경우] relativzed 버전의$\mathsf{SOA}$ 당신이 받아 들일 수 있습니다. $\delta$셀 수있다; 즉, 완전한 이해를 원한다면 @Noah가 지적했듯이 일관성이 없습니다.$\delta$ 존재 (가산 또는 기타)

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