닫힌 세트, 경계 세트 및 컴팩트 세트 간의 차이를 시각적으로 표현

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ecjb 2019-05-12 16:06.

바운드, 클로즈드, 콤팩트 세트의 차이점을 파악하는 데 어려움이 있습니다. 사진은 천 단어의 가치가 있기 때문에 (특히 가벼운 수학 배경을 가진 사람의 경우) 이러한 개념을 그래픽으로 표현하고 싶습니다.

정의 :

경계 세트 모든 포인트가 서로 일정한 거리 내에있는 세트. 세트$\mathbb{R}^n$ 모든 점이 유한 반경의 공 내에 포함되면 경계가 지정됩니다.

폐쇄 세트 모든 한계점을 포함하는 세트. 세트의 마감은 세트와 동일합니다.

Compact set compactness는 닫히고 경계가되는 유클리드 공간의 하위 집합 개념을 일반화하는 속성입니다.

여기 내가 가져온 그림이 있습니다. https://iquestion.pro/ko/q/ma14188438 및 수정 :

내 질문

하위 그림 ($1$) 및 ($4$) 그림의 콤팩트?

1 answers

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J. W. Tanner 2019-05-12 23:47.

하위 집합 $\mathbb R^n$ (예 : $\mathbb R^2$, 귀하의 묘사에서)는 닫혀 있고 경계가있는 경우에만 압축됩니다. 보시다시피, 하위 집합은 닫혀 있지만 제한되지 않을 수 있거나 제한되어 있지만 닫히지 않을 수 있습니다. 또한 닫히거나 제한되지 않을 수도 있습니다 [예 :$\mathbb R^2\setminus (0,0)]$. 어떤 경우에도 컴팩트하지 않습니다. 언급했듯이 일반적으로 토폴로지 공간에 대해 컴팩트를 정의 할 수 있지만 (모든 열린 덮개에는 유한 덮개가 있음) Heine-Borel 정리는 다음과 같이 설명합니다.$\mathbb R^n$, 하위 집합은 닫히고 경계가있는 경우에만 압축됩니다.

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