고유 값의 기하 다중도

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Andre Jackson 2019-04-24 07:39.

허락하다 $A\in\mathbb{F}^{n×n}$ 정의 $L: \mathbb{F}^{n×n}\rightarrow \mathbb{F}^{n×n}$ 으로 $L(X)=AX$. 만약$\lambda$ 고유 값 $A$ 기하 다중도 1로, 기하 다중도 $\lambda$ 고유 값으로 $L$ 적어도 $n$.

나는 이미 증명했습니다 $\sigma (A)=\sigma (L)$. 이것은 위의 문제와 연결됩니다.

어떤 힌트도 가능하며 큰 도움이됩니다. 감사.

2 answers

1
Robert Lewis 2019-04-25 02:20.

나는이 문제를 해결하기 위해 너무 많은 스펙트럼 이론이 필요하다고 생각하지 않습니다.

만약 $\lambda \in \Bbb F$ 고유 값 $A$ 기하학적 다중성의 $1$, 다음에 해당하는 고유 공간 $\lambda$ 이다 $1$-차원 부분 공간 $\Bbb F^n$; 따라서 벡터가 있습니다

$0 \ne \vec x \in \Bbb F^n \tag 1$

$A\vec x = \lambda \vec x; \tag 2$

또한 0이 아닌 벡터

$0 \ne \vec y \in \Bbb F^n \tag 3$

만족스러운

$A \vec y = \lambda \vec y \tag 4$

다음과 동일 선상에 있어야합니다. $\vec x$:

$\exists 0 \ne \alpha \in \Bbb F, \; \vec y = \alpha \vec x. \tag 5$

다음으로 $n$ 행렬

$X_i \in \Bbb F^{n \times n}, \; 1 \le i \le n, \tag 6$

어디 $i$-번째 열 $X_i$ 이다 $\vec x$, 다른 모든 열은 $0$; 즉,$X_i$ 형태를 취하다

$X_i = [0 \; 0 \; \ldots \; \vec x \; \ldots \; 0 \; 0]. \tag 7$

이제

$Y \in \Bbb F^{n \times n} \tag 8$

쓸 수있다

$Y = [\vec y_1 \; \vec y_2 \; \ldots \; \vec y_n], \tag 9$

각각

$\vec y_i \in \Bbb F^n; \tag{10}$

의 행동 $L$ 의 위에 $Y$ 따라서

$LY = [A\vec y_1 \; A\vec y_2 \ldots \; A\vec y_n]; \tag{11}$

그것은 다음과 같다

$LX_i = [0 \; 0 \; \ldots \; A\vec x \; \ldots \; 0 \; 0] = [0 \; 0 \; \ldots \; \lambda \vec x \; \ldots \; 0 \; 0] = \lambda [0 \; 0 \; \ldots \; \vec x \; \ldots \; 0 \; 0] = \lambda X_i; \tag {12}$

즉, 각각 $X_i$ 이다 $\lambda$-고유 벡터 $L$$\Bbb F^{n \times n}$; 또한$X_i$ 선형 적으로 독립적입니다. $\Bbb F$, 주어진 모든

$a_i \in \Bbb F, \; 1 \le i \le n, \tag{13}$

우리는

$\displaystyle \sum_1^n a_iX_i = [a_1 \vec x \; a_2\vec x \; \ldots \; a_n \vec x] \ne 0 \tag{14}$

적어도 하나 제공 $a_i \ne 0$.

따라서 우리는 $n$ 선형 독립 $\lambda$-고유 벡터 $L$$F^{n \times n}$즉, 기하학적 다중성 $\lambda$ 고유 값으로 $L:\Bbb F^n \to \Bbb F^n$ 적어도 $n$. $OE\Delta$.

Nota Bene : 위에서 수행 한 작업을 바탕으로 약간의 추가 작업만으로 실제로 기하학적 다중성을 보여줄 수 있습니다.$\lambda$ 고유 값으로 $L$사실 정확하게 $n$; 와 함께$Y$ (8)-(11)에서와 같이,

$LY = \lambda Y \Longrightarrow A \vec y_i = \lambda \vec y_i, \; 1 \le i \le n; \tag{15}$

위의 (3)-(5)에서 언급했듯이

$\vec y_i = \alpha_i \vec x, \; 1 \le i \le n, \tag{16}$

그래서

$Y = \displaystyle \sum_1^n \alpha_i X_i; \tag{17}$

즉, 모든 고유 벡터 $Y$$L$ 에있다 $\text{span}\{ X_i, \; 1 \le i \le n \}$; 이것은의 차원을 증명합니다$\lambda$-고유 공간 $L$ 정확히 $n$, 따라서 기하학적 다중도 $\lambda$ 정확히 $n$게다가. 메모 끝 .

1
Ben Grossmann 2019-04-24 14:49.

힌트 : If$Ax = \lambda x$ 0이 아닌 경우 $x \in \Bbb F^n$, 다음 $A(xy^T) = \lambda(xy^T)$ 모든 벡터 $y \in \Bbb F^n$.

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