술어 미적분을위한 공리 선택에 대한 확신

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Daniels Krimans 2019-02-22 16:02.

Hilbert 유형의 술어 미적분 공식 시스템을 고려하십시오. 나는 Kleene의 "Introduction to Metamathematics"1971에있는 것을 사용할 것입니다.이 스타일로 술어 미적분을 개발하는 동안 우리는 일련의 공리 (또는 당신의 선택에 따라 공리 도식)와 추론 규칙 세트를 나열합니다. 그런 다음 증명과 정리의 개념이 정의됩니다.

그러나 그것에 대해 생각하고 나 자신에게 정직한 후에 나는 특정 공리와 추론 규칙이 선택되는 이유 (또는 그에 상응하는 규칙)에 대해 전혀 모른다는 것을 인정해야합니다. 나는 그것에 대한 당신의 생각을 듣고 싶습니다. 그리고 설명에 대한 모든 가설과 내가 만족하지 않는 이유를 당신에게 줄 것입니다.

예를 들어, 공리 스키마를 고려하십시오. $A,B,C$ 수식을 나타내는 메타 수학적 변수입니다.

$$ 1. (A \Rightarrow B) \Rightarrow ((A \Rightarrow (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C)) $$

또한 다음과 같은 추론 규칙을 고려하십시오. $C$ 변수를 포함하지 않는 수식을 나타냅니다. $x$$A$ 모든 공식을 나타냅니다.

$$2. \textrm{If } C \Rightarrow A(x) \textrm{ then } C \Rightarrow \forall x(A(x)) $$

$$3. \textrm{If } A(x) \Rightarrow C \textrm{ then } \exists xA(x) \Rightarrow C $$

가설 1 : 우리는 이러한 공리와 다른 공리 / 공리 스키마 / 추론 규칙이 작동하기 때문에 취합니다. 예를 들어 일관성을 표시 할 수 있습니다. 또한 수학에서 "비공식"정리의 대부분은 이러한 종류의 술어 미적분을 사용하여 공식적으로 재구성 될 수 있기 때문입니다. 그러나 어떻게 그들과 함께 올까요? 일관되고 대부분의 "비공식"수학을 공식화 할 수 있기를 바라는 것만으로 동등한 공리 / 추론 규칙 집합을 선택하는 것은 매우 불가능 해 보입니다. 나는 이것 뒤에 어떤 종류의 직감이나 해석이 있어야한다고 생각한다.

가설 2 : 우리의 선택은 해석 하에서 의미가 있다는 사실에도 근거합니다. 그러나 나는 그것을 이해하기가 어렵다. 예를 들어 공리 도식 1을 고려하면 해석은 "만약$A$ 그때 $B$ 만약 그렇다면 $A$ 그렇다면 $B$ 그때 $C$ 그렇다면 $A$ 그때 $C$"저에게는 매우 혼란 스럽기 때문에 직관에 쉽게 접근 할 수 없습니다. 추론 규칙 2와 3에 대해서는 설득력있는 해석이 없습니다 . 제 주어진 추론 규칙에 대해 설득력있는 해석을 해주시면 정말 감사하겠습니다 .

가설 3 : 아마도 우리가 공리 도식으로 선택해야하는 공식을 모델 이론적 주장으로 주장 할 수 있지만 여기서는 확신하지 못합니다. 유한 수단을 사용하는 술어 미적분의 모델 이론의 경우 술어 미적분의 변수 영역이 다음과 같은 경우에만 분석 할 수 있기 때문입니다. 유한하지만 일반적으로 실제로 우리는 무한한 영역을 가진 이론을 사용합니다. 유한 영역을 유지한다면 무한 영역을 유지한다고 가정하는 것이 합리적이라고 주장 할 수 있지만 확실하지 않습니다. 그리고 우리가하는 방식으로 진리표를 선택하는 이유도 물어볼 수 있습니다. 또한 일부 로직에는 진리표가 없지만 여전히 공리 / 공리 스키마 / 추론 규칙이 있다는 점을 고려할 때이 직감이 충분히 일반적이지 않을 수 있다고 생각합니다.

가설 4 : 아마도 우리는 특정 연역 규칙이 연역 정리처럼 유지되기를 원한다고 주장 할 수도 있습니다. 그러나 나는 철학적으로 그것들이 필요하지 않고 단지 유용한 도구 일 뿐이라고 생각했지만, 원칙적으로 이러한 연역적 규칙 없이는 모든 것이 개발 될 수 있습니다. 따라서 처음에는 이론의 기본이 아니기 때문에 사용을 주장 할 수 없습니다.

가설 5 : 더 간단하고 직관적 인 공리와 추론 규칙이있는 동등한 술어 미적분이있을 수 있습니다. 그렇다면 누군가가 그것이 무엇인지, 왜 더 간단하고 직관적인지에 대한 참고 자료를 줄 수 있습니까?

여러분의 도움과 조언, 그리고 이것에 대한 여러분 자신의 철학적 / 직관적 인 생각에 감사드립니다. 특히 저에게는 흥미 롭습니다. 이러한 일에 대해 어떻게 생각하고 자신이하는 일이 합리적이라는 것을 어떻게 확신합니까?

2 answers

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Mauro ALLEGRANZA 2019-02-27 00:03.

우선, 현대 수학 논리에는 힐버트 스타일, 자연 추론, 순차 미적분, Tableaux, Resolution, Equational과 같은 많은 증명 시스템이 있음을 고려해야합니다.

힐베르트 스타일은 처음으로 "코드화"되었습니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Begriffsschrift, Russell과 Whitehead의 https://plato.stanford.edu/entries/principia-mathematica/ 최초의 현대 수학 로그 교과서 인 Hilbert와 Ackermann의 https://en.wikipedia.org/wiki/Principles_of_Mathematical_Logic.

1935 년 https://en.wikipedia.org/wiki/Gerhard_Gentzen 규칙 전용 증명 시스템 인 Natural Deduction 및 Sequent calculus를 개발했습니다.

공리와 규칙에 기반한 힐베르트 스타일 증명 시스템으로 돌아가서 명 제적 미적분에서 시작해야합니다. https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Hilbert_systems.

Frege에서 시작된 전통은 몇 가지 공리와 단 하나의 규칙 인 Modus Ponens를 채택했습니다 .

첫 번째 "변형"은 기본 명제 연결의 선택과 함께 제공됩니다. Frege 채택$\to$$\lnot$ Russell & Whitehead는 $\lor$$\lnot$.

명 제적 미적분의 공리 화에 대한 접근 방식 은 "자명 한"공리를 도입하려는 Euclid의 Elements를 되살 렸습니다 .

이런 의미에서 읽을 수 있습니다 https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Hilbert_systems#Negation_and_disjunction, "까다로운"회피 $\to$( 물질적 의미 ) "더 쉬움"을 채택$\lor$( 분리 ).

이 접근 방식은 다음을 통해 더욱 간소화되었습니다. https://books.google.it/books?id=UaPuCAAAQBAJ&pg=PA21, MP 규칙 및 다음 공리 스키마 사용 :

$(A \lor A) \to A$

$A \to (B \lor A)$

$A \to (B \to ((C \lor A) \to (B \lor C))).$

아주 비슷한 것은 https://books.google.it/books?id=Vl1ZDwAAQBAJ&printsec=frontcover하나의 공리 (스키마)가있는의 시스템 : $\lnot A \lor A$및 위 공리의 규칙 버전 과 MP 대신 Cut Rule 을 추가 합니다.

그러나 또한 Frege의 원래 접근 방식은 더욱 개선되었습니다. 예를 참조하십시오https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Hilbert_systems#Implication_and_falsum.

이 진화는 다른 목표에 의해 주도되었습니다.

  • 선택한 공리의 증거;

  • 공리 (및 연결)의 수를 줄입니다.

  • "실용적인"욕구 : 가능한 빨리 추론 정리건전성과 완전성 을 증명하는 데 필요한 공리를 채택하십시오 .

두 번째 드라이버는 증거 (때로는 명료성)를 희생하면서 단일 공리 단일 연결 버전을 생성했습니다.

그러나 환원 주의적 접근 방식은 메타 이론을 증명하는 데 유용합니다. 일반적으로 그들은 귀납법에 의한 증명을 필요로하며 연결 ​​및 공리의 수가 감소하면 조사 할 사례가 줄어 듭니다.

세 번째 동인은 필수적입니다. 우리는 건전 하고 완전한 증명 시스템을 원합니다 . 즉, 모든 유효한 공식 을 도출 할 수 있습니다 (적절한 의미에 따라).

이 관점에서 가장 성공적인 명제 공리 시스템 : Church 's, Mendelson 's, 일반적으로 세 가지 공리와 하나의 규칙으로 구성됩니다 (공리 : $A \to (B \to A)$$(A \to (B \to C)) \to ((A \to B) \to (A \to C))$DT 의 증명에 충분 ))는 많은 규칙이있는 자연 추론에 비해 매우 실용적입니다.

그만큼 https://www.iep.utm.edu/nat-ded/#H4 Bernays와 Kleene에 의해 Hilbert 스타일 시스템으로 옮겨졌고, 두 가지의 이점을 결합하려고 시도했습니다. 메타 론적 "실용성"과 결합에 대한보다 직관적 인 접근 방식, 그리고 한 쌍의 도입 제거 규칙 (및 해당 공리).

또한이 접근 방식은 https://plato.stanford.edu/entries/logic-intuitionistic/#IntFirOrdPreLog, 여기서 연결은 상호 정의 할 수 없습니다.

결론 (지금까지) : 실제적인 이유 (당신의 Hypos.1과 4)와 "증거"사이에는 절충 (그리고 긴장)이 있습니다.

매우 유용합니다 : John Corcoran, https://www.jstor.org/stable/186168?seq=1#page_scan_tab_contents.


에 대한 문제 https://mally.stanford.edu/tutorial/quantificational.html 유사하다.

우선, 공리의 선택은 명제 부분에 대한 이전 선택을 기반으로합니다.

일부 증명 시스템은 단 하나의 추론 규칙 만 유지하도록 선택합니다. Modus Ponens (참조 : Enderton), 따라서 정량 자에 대한 적절한 공리를 추가해야합니다. 그리고 다시, 우리는 고전적인 논리에서 두 수량자를 다른 것에 대해 정의하는 기본적인 내용으로 도입하는 선택권을 가지고 있습니다.

다른 선택은 Frege와 R & W의 시스템에 따라 수량 자에 대한 추론 규칙을 도입하는 것입니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_generalization.

다시 말하지만, 위에서 논의한 목표에 대한 다른 해결책이 있습니다. Kleene의 시스템은 다시 자연 추론 접근 방식의 "Hilbert 버전"입니다.

다시 말하지만, "미니멀리스트"접근 방식에는 많은 가능성이 있습니다. Shoenfield는 수량 자 공리를 사용합니다.$A[x/a] \to \exists x A$ 그리고 $\exists$-도입 규칙 : "만약 $x$ 자유롭지 않다 $B$, 추론 $\exists x A \to B$ ...에서 $A \to B$ (또한보십시오 https://books.google.it/books?id=AHvoluqx7uoC&pg=PA34).

여기, IMO는 새로운 "긴장"을 가지고 있습니다. 공리는 매우 자연 스럽지만 (유니버설 인스턴스화 공리와 규칙도 마찬가지 임) 도입 규칙은 그렇지 않습니다.

일반화 규칙은 더 직관적이지만 까다 롭고 Deduction Th 와의 상호 작용에 문제가 있습니다 .

결론 (임시) : 수량 자에 대해서도https://www.iep.utm.edu/nat-ded/#H7, 그들 각각에 대한 쌍 소개 제거와 함께, 꽤 ... "자연 스럽다".

힐베르트 스타일의 접근 방식을 채택하면 기본 절충점은 "자연성"(ND를 공리 + 규칙으로 변환)과 부족함 사이에 있습니다.

분명히 시스템이 건전성과 완전성의 기본 속성을 갖도록합니다.

1
mls 2019-02-27 15:17.

나는 다양한 공리 화 작업을하기 때문에 응답하고 있습니다. 내 작품은 게시되지 않습니다.

제 주된 동기는 학생 시절의 경험에서 비롯되었습니다. 저의 교수들은 일반적으로 존재와 고유성 주장에 대한 설명을 포함하는 명확한 설명과 인식 론적 추론을 사용했습니다. 공식 시스템의 역사는 이러한 관행이 의미있는 의미로 지원되지 않는 것과 같습니다.

영어 번역 (저는 한 가지 언어 만 사용합니다)이있는 훌륭한 원서가 있으며, 질문에 답하려면 이들을 참조해야합니다. 항상 동기가 있습니다. 볼 차노는 "기하학"을 신뢰하지 않았습니다. 버클리는 "플럭 션"을 신뢰하지 않았습니다. 대부분의 현대 수학과 관련이 없지만 Hilbert는 기하학의 "시간적"특성을 제거했습니다 (따라서 Newton의 수호자들이 선언 한 것처럼 공간과 시간은 상호 적으로 서로 측정하지 않습니다).

항상 동기가 있습니다.

나는 순차 미적분을 많이 사용하지 않습니다. 그러나 내가 문제를 이해하는 것처럼, Gentzen은 부정에 대한 연속적 뒤에있는 대칭에 대해 자신에게 매우 만족했습니다. 항상 동기가 있습니다. 자신의 동기를 느끼지 못하면 다른 사람의 물건 만 배울 수 있습니다. 그리고 Carnap이 관찰 한 바와 같이, 일단 무언가가 공식화되면 그 노력으로 배운 것이 사라진 것처럼 보입니다. 개인적입니다.

의미론이 좋은 동기라고 믿어서는 안됩니다. 1999 년에 Pavicic과 Megill은 고전 명제 미적분에 대한 공리의 "충실한"모델이 부울 모델이 아니라는 것을 보여주었습니다.

https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9906101.pdf

실제로 그들은 "충실한"모델이 수치로 표현 될 수 없다고 지적합니다.

내 작업에서 나는 진리표 관계가 회복되도록 16 개의 상수를 서로 관계에 배치하는 4096 개의 공리를 개발했습니다. NAND의 공리가 회복 되었기 때문에 저는 Nicod의 작업을 통해 고전적인 명제 논리를 가지고 있습니다. 내 동기는 진리표 시스템이 유한 아핀 기하학의 공리를 충족한다는 것을 인식하는 데서 비롯되었습니다. 내가 대답 한 질문은 명명 된 기하학적 점에서 구성 관계를 재구성하는 방법을 물었습니다. 관련된 복잡성을 알고 싶다면 "삼 격자 논리"를 살펴보십시오. 그리고 그 논리의 저자는 16 개의 기호로 16 개의 점에 라벨을 붙이는 일이 없었 음을 기억하십시오. 사실 그들의 작업이 더 어려웠다 고 생각합니다.

오일러 다이어그램을 "배우기"하고 집합 이론 (예를 들어 Kunen)에서 논리를 표현하는 것이 단순히 "충실"하지 않다는 것을 이해하려면 많은 노력이 필요했습니다. 그러나 부울 모델은 실제로 미적분학의 모델이므로 지지자에게 문제가 있음을 입증 할 방법이 없습니다.

논리적 공리에 대한 질문과 관련하여 예가 핵심입니다. 저는 James A. Thomas의 "Symbolic Logic"이라는 책에서 배웠습니다. 보조 공제를 추적하고 수많은 예를 제공하는 "획기적인"증명을 사용합니다. 정량화 공리가 구조를 갖는 이유는 부수적 공제에서 수량 화가 조작되는 경우가 많기 때문입니다. 다소 구식이지만 Russell의 "수학 원리"는 그가 취하는 명 제적 공리를 취하는 데 무엇이 관여하는지에 대해 좋은 토론을하고 있습니다.

오늘날 하나는 설명없이 하나의 논리에서 다른 논리로 이동할 것으로 예상됩니다. 그러나 설명은 위험합니다. 철학과의 경계에 있습니다.

의심 할 여지없이 특정 목표를 추구하는 사람들이 있습니다. 그러나 그것은 많은 논리에 대한 우리의 경험이 더 크기 때문에 더 최근입니다. 모든 논리에서 해결해야 할 한 가지 문제는 구문 변환 전반에 걸쳐 진실을 보존하는 것입니다. 그래서 "일차"가 매우 중요합니다. Russell은 그의 논문 "On denoting"에서 "실체화"라고해야하는 것에 대해 좋은 주장을합니다. 관계와 기능은 확장 진리의 기초를 제공 할 수 없으며 Frege-Russell 논리주의가 수학의 일부가 된 확장 개념입니다.

하지만 수학이 확장되어야합니까? 기술적으로 "공식적 공리 학"은 명목주의에 지나지 않습니다. 나는 한때 "형식주의"와이 개념을 혼동했습니다. 모든 것이 "암호화"되어있는 수학적 외적 메타 수학의 다량은 저를 다른 것으로 확신 시켰습니다. 이제 저는 "명목주의 우선"관점에서 기초에 대해 생각합니다.

나는 공리 내에서 일어나는 일을 적용하는 것 외에는 공리 밖의 수학에 대한 의견이 없습니다.

제 입장에서는 논리적 공리에 접근 할 때 구체적인 목표를 추구해야했습니다 (발차 기와 비명 !!!). Zermelo-Fraenkel 집합 이론의 맥락에서 "집합 우주"라는 표현은 이론 밖의 명확한 설명입니다. 이 때문에 이해해야 할 논리가 음의 자유 논리라는 것을 천천히 깨달았습니다. 무료 논리와 설명이 서로 얽혀 있습니다. 나의 논리적 공리는 존재하지 않는 존재를 입증 할 필요없이 존재하지 않는 존재의 구별 할 수 없다는 생각을지지합니다. 그래서 자립을 인정하는 공리로 설명을 사용하여 고유 한 자립 개인으로서의 집합 우주를 소개 할 수 있습니다.

내 논리가 이것을 할 수있는 이유는 내가 원통 대수 (이동성)에 대한 그의 연구에서 나온 Tarski의 공리 중 하나가 어떻게 "실존 적 수입"을 가진 정체성 진술을 도입 할 수 있는지 인식했기 때문입니다. 따라서 식별 가능성 만 전달하는 실존 적 의미없이 관계를 가질 수 있다면 부정적인 자유 논리 원칙을 수용 할 수 있습니다. 그래서 제가 쓴 논리는 "인스턴트 성"(실존 적 수입), "식별성"(형식적 구별 성), "대체 성"(미적분 내)을 구별합니다.

명확한 설명의 처리와 관련하여 Russell의 설명 이후 많은 것이 변경되었습니다. Strawson은 명확한 설명이 참조 적으로 이해되어야 할 가능성을 도입했습니다. 라이머는 실제로 관측 된 행성이 발견되기 전에 "해왕성"이라는 이름의 도입과 같은 예를 바탕으로 설명 적으로 정의 된 이름을 주장했습니다. 이것은 Neale이 그의 마음을 바꾸도록 설득했습니다. 그는 이런 종류의 계정을 구현할 수있는 구문을 제안했습니다. 그리고 Abraham Robinson은 그의 "제한된 표시"에서 그러한 방식으로 구축 된 공식 언어의 구조에 대해 논의했습니다. 나는 Padoa의 방법과 Beth 정의성 정리에 얽매일 의무가 없다고 느낍니다.

내 논리를 쓴 후 러셀의 "수학 원리"에서 "양"과 "크기"에 대해 논의하는 매우 유사한 공리를 발견했습니다. 내 공리와 마찬가지로 실존 적 수입은 자동으로 부여되지 않습니다. 러셀이 말하는 것은 본질적으로 기하학적입니다. 대수 시스템을 구축 한 후 미터법 공간에 도달하는 방법에 대한 일반적인 처리에서 유클리드 점 공간 또는 아핀 공간을 형성하는 점과 비교할 수 있습니다. 그러나 수치 적 정체성이 주로 기하학적 현상이라고 생각한다면, 여기에서 통찰력을 얻을 수있을 것입니다.

나는 누군가가 어떤 목적이없는 논리를 쓸 수 있을지 모르겠습니다. Gentzen이 가지고있었습니다. 나는 내 것을 부정 할 수 없다.

직관성과 관련하여 1 차 정량화에 대한 표준 설명보다 더 간단한 것은 없을 것입니다. 나에게 "수학적"으로 제시된 것과 다르게 일을하는 교수들의 예가 없었다면, 나는 결코 반대되는 직관을 갖지 못했을 것입니다. 이제, 나는 부정적 자유 논리의 원리에 의해 동기를 부여받은 건설 수학의 "분리 성"및 "정체성"과 비교 가능한 정량 논리를 가진 고전적인 명제 논리를 가지고 있습니다.

그것이 저에게 "직관적 인"것입니다.

공부에 행운을 빕니다.

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