모델을 다음과 같이 매개 변수화 할 수 있습니까? $\Psi = \frac{1-\theta}{\theta}$? 답을 증명하십시오

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Bas bas 2019-01-25 17:32.

무작위 샘플 $6$ 관찰 $(X_1, X_2, \cdots, X_6)$ Geometric ($\theta$), 어디 $\theta \in (0, 1)$ 알 수 없지만 $T = \sum_{i=1}^{6} X_i$ 통계학자가 관찰합니다.

(a) 관찰 된 데이터에 대한 통계 모델을 설명합니다 ($T$)

(b)-(i) 모델을 다음과 같이 매개 변수화 할 수 있습니까? $\Psi = \frac{1-\theta}{\theta}$? 답을 증명하십시오

(b)-(ii) 모델을 다음과 같이 매개 변수화 할 수 있습니까? $\Psi = \theta(1-\theta)$? 답을 증명하십시오


내 시도 :

(a) 기하가 음 이항으로 iid이기 때문에

마다 $X_i$ ~ $\mathrm{Geometric}(\theta)$ 따라서 $T = \sum_{i=1}^{6}$ ~ $\mathrm{NegativeBinomial}(r, \theta)$ 어디 $\theta \in (0, 1)$ 알 수 없는.

T에 대한 확률 함수는 다음과 같이 주어진다. $$f_{\theta}(t) = {t +r-1\choose t}(1-\theta)^t \theta^r$$ ...에 대한 $t = 0,1, \cdots, 6$

매개 변수는 $\theta$ 매개 변수 공간은 $[0,1]$

(b)-(i) 및 (b)-(ii) 방법을 잘 모르겠습니다. 각각을 그래프로 표시하여 일대일임을 보여줄까요? 확실하지 않다

1 answers

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Henry 2019-01-25 22:43.

(a)에 대한 답은 확률 질량 함수이므로 개인적으로 사용하지 않을 것입니다 $f$밀도에 자주 사용되는 것으로 설명합니다. 나는 쓸 것이다$6$ 보다는 $r$. 그리고 그것은 당신의 음 이항이$0$ 또는 $6$, 즉 기하학적 분포가 $0$ 또는 $1$

(b) (i)의 경우 다음과 같이 말할 수 있습니다. $\Psi = \frac{1-\theta}{\theta} \iff \theta = \frac{1}{\Psi+1}$ 적어도 만약 $\theta \not = 0$ 질문이 합리적이어야하므로이를 대체로 사용하여 모델을 매개 변수화 할 수 있습니다. $\Psi$

(b) (ii)의 경우 다음과 같이 말할 수 있습니다. $\Psi = \theta({1-\theta})$ 만족하다 $\theta = \frac{1 \pm \sqrt{1+4\Psi}}{2}$, 그리고 $\pm$경고 신호입니다. 예를 들면$\Psi=0.09$ 에 의해 생성 될 수있었습니다 $\theta=0.1$ 또는 $\theta=0.9$ 다른 확률을 제공하므로이 방법으로 모델을 매개 변수화 할 수 없습니다. $\Psi$

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