다른 적분 값이 주어지면 부적절한 적분 값 찾기

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Archis Welankar 2018-12-23 23:48.

I의 값을 계산하십시오. $$I=\int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x^p}dx$$. 어디 $0<p<1,\int_0^{\infty}\frac{x^{p-1}}{1+x}dx=\frac{\pi}{\sin(p\pi)}$. $$\text{Attempt}$$솔직히 말해서 구체적인 진전이 전혀 없습니다. 그냥 해봤 어$I(s)=\int e^{-sx^p}\frac{\sin(x)}{x^p}dx$ 그리고 계산 $\frac{dI(s)}{ds}$. 그러나별로 도움이되지 않았습니다. 또 다른 아이디어는$\frac{e^{ix}}{x^p}$ 이 적분의 허수 부의 값을 추출합니다.

4 answers

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Kemono Chen 2018-12-24 00:10.

Laplace 변환을 사용하면 $$I=\int_0^\infty\mathscr{L}_t(\sin x)\mathscr{L}^{-1}_t(x^{-p})dt\\ =\int_0^\infty\frac{t^{p-1}}{1+t^2}\frac1{\Gamma(p)}dt$$ 우리는 쉽게 찾을 수 있습니다 $$\int_0^\infty\frac{t^{p-1}}{1+t^2}dt$$ 대체를 사용하여 $u=t^2$:$$\int_0^\infty\frac{t^{p-1}}{1+t^2}dt=\frac12\int_0^\infty\frac{u^{p/2-1}}{1+u}du=\frac{\pi}2\csc\frac{p\pi}2$$ 따라서, $$I=\frac{\pi}2\csc\frac{p\pi}2\frac1{\Gamma(p)}= \Gamma (1-p)\cos\frac{p\pi}{2}$$ 언제 $0<p<2$.

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mrtaurho 2018-12-24 08:09.

의견에서 언급했듯이이 통합은 https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan%27s_master_theorem 유사하게 수행되었으므로 이 비 기본 적분을 평가하는 방법은 무엇입니까?.

Ramanujan의 마스터 정리를 실제로 적용하려면 적분을 약간 변경해야합니다. 대체를 정확하게 시행하려면$x^2=u$ 다음과 같이 산출

$$\begin{align} \mathfrak{J}=\int_0^{\infty}\sin(x)x^{-p}~dx&=\int_0^{\infty}x^{-p}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}dx\\ &=\frac12\int_0^{\infty}x^{-p}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x^2)^n}{(2n+1)!}2xdx\\ &=\frac12\int_0^{\infty}u^{-p/2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-u)^n}{(2n+1)!}du\\ &=\frac12\int_0^{\infty}u^{-p/2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(n+1)/\Gamma(2n+2)}{n!}(-u)^ndu \end{align}$$

마지막 적분은 Ramanujan의 마스터 정리를 다음과 같이 적용하여 평가할 수 있습니다. $s=1-\frac p2$$\phi(n)=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(2n+2)}$. 여기서부터 우리는

$$\begin{align} \mathfrak{J}=\frac12\int_0^{\infty}u^{-p/2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(n+1)/\Gamma(2n+2)}{n!}(-u)^ndu&=\frac12\Gamma\left(1-\frac p2\right)\frac{\Gamma\left(-\left((1-\frac p2\right)+1\right)}{\Gamma\left(-2\left(1-\frac p2\right)+2\right)}\\ &=\frac1{2\Gamma(p)}\Gamma\left(\frac p2\right)\Gamma\left(1-\frac p2\right)\\ &=\frac1{2\Gamma(p)}\frac{\pi}{\sin\left(\frac{\pi p}{2}\right)} \end{align}$$

전반적으로 우리는 평등을 적을 수 있습니다.

$$\mathfrak{J}=\int_0^{\infty}\sin(x)x^{-p}~dx=\frac1{2\Gamma(p)}\frac{\pi}{\sin\left(\frac{\pi p}{2}\right)}$$

적분 호출의 제안 된 표현 $\cos\left(\frac{\pi p}2\right)$ Euler의 Reflection Formula를 사용하여 매우 쉽게 추론 할 수 있습니다. $z=p$

$$\color{red}{\frac1{2\Gamma(p)}\frac{\pi}{\sin\left(\frac{\pi p}{2}\right)}}=\frac{\pi}{\Gamma(p)}\frac{\cos\left(\frac{\pi p}2\right)}{2\sin\left(\frac{\pi p}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi p}2\right)}=\frac{\pi}{\Gamma(p)\sin(\pi p)}\cos\left(\frac{\pi p}2\right)=\color{red}{\Gamma(1-p)\cos\left(\frac{\pi p}2\right)}$$

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Noname 2018-12-24 00:12.

라플라스 변환을 취하여

\ begin {equation} \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x ^ p}} dx = \ frac {1} {\ Gamma {(p)}} \ int_ { 0} ^ {\ infty} \ frac {s ^ {p-1}} {s ^ 2 + 1} ds = \ Gamma {(1-p)} \ cos {\ frac {p \ pi} {2}} \ end {등식}

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Noname 2018-12-24 00:08.

해결책이 아님 :

다른 작업의 일부로 https://iquestion.pro/ko/q/ma16047747 나는 같은 문제에 직면했습니다. 나는 샅샅이 뒤졌고https://en.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_function적분에 대한 표현. 수렴합니다.$p > 1$, $p \in \mathbb{R}$

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