증명 :“만약 $A,B \in M_n(\mathbb{k})$ 대각선이 가능하고 통근이 가능하며 동시에 대각선이 가능합니다.”

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guidoar 2018-09-04 19:42.

제목에서 알 수 있듯이 다음의 증거를 찾고 있습니다.

제안. 허락하다$A, B \in M_n(\mathbb{k})$ 대각 가능한 행렬을 정류하므로 $AB = BA$. 따라서,$A$ 과 $B$ 동일한 기준으로 대각선화할 수 있습니다.

이러한 추가 요구 사항 : 최소 다항식을 사용하지 않고 가능한 기본 인수로 사용합니다.

비슷한 질문을 찾다가 우연히 발견했습니다 https://math.stackexchange.com/a/236719/362866대답. 고유 값이$A$ 아르 $B$-불변 및 그 반대. 이것이 1 차원이라면 제한함으로써$A$ 또는 $B$다른 고유 공간에 대한 함수로서, 우리는 모든 고유 벡터를 공유하고 (아마도 다른 고유 값을 가질 수 있음), 따라서 이들의 모든 염기는 두 행렬을 동시에 대각 화합니다. 그러나 임의 차원의 고유 공간에 대한 경우는 연습으로 남겨집니다.

진행 방법에 대한 힌트가 있습니까?

편집 : 읽을 때 https://math.stackexchange.com/a/6260/362866 대답, 저는 질문을 다음과 같이 줄일 수 있다고 생각합니다. 주어진 고유 공간을 어떻게 보여줄 수 있습니까? $E_\lambda$, $B : E_\lambda \to E_\lambda$대각선 가능합니까? 이것이 대답되면

$$ \mathbb{k}^n = E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_n} $$

와 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ 고유 값 $A$및 각 제한 $B$ ...에 $E_{\lambda_i}$ 기준으로 대각선화할 수 있습니다. $B_i = \{v^i_1 , \dots, v^i_{k_i}\}$, 기본 $\mathcal{B} = \cup_{i=1}^nB_i$ 의 $\mathbb{k}^n$ 고유 벡터로 구성 $B$ 그것은 또한의 고유 벡터입니다 $A$, 정확히 $v_j^i \in E_{\lambda_i}$. 따라서 각 요소$\mathcal{B}$ 둘 다에 대한 고유 벡터가 될 것입니다. $A$ 과 $B$, 즉 $\mathcal{B}$ 동시에 행렬을 대각 화합니다.

요컨대, 내가 이것에 대해 올바르게 생각했다면 내 질문은 다음과 같이 줄어 듭니다. $B$-불변 고유 공간 $A$ 고유 벡터의 기초가 있습니다. $B$?

1 answers

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guidoar 2018-09-06 02:56.

입증 된대로 https://math.stackexchange.com/questions/62338/diagonalizable-transformation-restricted-to-an-invariant-subspace-is-diagonaliza 게시, 아이디어는 다음과 같습니다. $W$ an $B$-불변 부분 공간. 이제부터$B$ 고유 값으로 대각 화 가능 $\mu_1, \dots, \mu_k$,

$$ \mathbb{k}^n = E_{\mu_1} \oplus \cdots \oplus E_{\mu_k} $$

그것을 보는 것으로 충분합니다 $W = (W\cap E_{\mu_1}) \oplus \cdots \oplus ( W\cap E_{\mu_k})$ 이 경우 하나는 각각의 기초로부터 기초를 형성 할 수 있습니다 $W \cap E_{\mu_i}$, 고유 값으로 구성됩니다. $B$ 에 포함되어 있기 때문에 $E_{\mu_i}$. 실제로 두 가지를 모두 포함 해 보겠습니다. 즉각적인 것은$(W\cap E_{\mu_1}) \oplus \cdots \oplus ( W\cap E_{\mu_k})\subseteq W$ 각 공간이 $W$, 후자는 부분 공간입니다.

다른 것에 관해서는 $W = W \cap \mathbb{k}^k = W \cap \bigoplus_{i=1}^n E_{\mu_i}$, 모든 요소 $w$ 의 $W$ 고유 벡터의 합입니다.

$$w = e_1 + \dots + e_l$$

와 $e_i$ 고유 값의 고유 벡터 $\mu_{j_i}$. 따라서$\sum_{i=1}^ke_l \in W$, 다음 $e_1, \dots, e_l \in W$. 우리는 다음에 대한 유도로 진행합니다.$l$. 만약$l = 1$, 다음 $e_1 = w \in W$. 만약$l >1$, 이후

$$ Bw - \mu_{j_1}w = (\mu_{j_1} - \mu_{j_1})e_1 + \dots + (\mu_{j_l} - \mu_{j_1})e_l \in W $$

과 $\mu_{j_i} - \mu_{j_1} \neq 0$, 귀납적 가설에 의해 $e_i \in W$ ...에 대한 $i >1$, 그리고 마침내 $e_1 = w - e_2 - \dots - e_l \in W$, 증명을 완료합니다.

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