구에서 임의의 선분의 교차

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Feryll 2018-07-08 16:56.

이것은 실제로 비슷한 전제가있는 두 가지 질문입니다.

  1. 포인트 $\mathbb{R}^2$ 입체적으로 무작위로 선택됩니다 (즉, 단위 구의 표면에서 균일하게 무작위로 선택한 다음 $(x,y,z) \mapsto (\dfrac{x}{1-z}, \dfrac{y}{1-z})$) 그러면 평면에서 두 개의 임의의 선 세그먼트 (끝점에 의해 결정됨)가 교차 할 확률은 얼마입니까?

  2. 단위 구의 표면에있는 점이 측지선으로 연결되어있는 경우 구에있는 두 개의 임의 측지선이 교차 할 확률은 얼마입니까?

첫 번째 문제는 몬테카를로 시뮬레이션을 실행하여 답을 얻을 수있을만큼 쉬웠습니다. 이론적으로는 어떻게 해결해야할지 모르겠지만 저는 # 2에 대한 답이 다음과 같아야한다고 생각합니다. $\dfrac{1}{8}$(검증을 찾고 있습니다). 다음과 같습니다.

만약 $P(g)$ 무작위 측지선이 주어진 측지선과 교차 할 확률입니다. $g$, 우리는 $P(g) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\theta}{2\pi}$, 어디 $\theta$ 길이입니다 $g$ (확률 $\dfrac{1}{2}$ 무작위 측지선은 다음에 의해 유도 된 대권의 반대쪽 반구에 끝 점이있을 것입니다. $g$,이 대권의 비율을 곱하여 $g$ 커버). https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_segment, 임의 측지선이 길이를 가질 확률 $\leq \theta$ (에 대한 $0 \leq \theta \leq \pi$)은 $\dfrac{2\pi(1-\cos(\theta))}{4\pi} = \dfrac{1-\cos(\theta)}{2}$; 미분하면 확률 밀도 함수가$D(\theta) = \dfrac{\sin(\theta)}{2}$. 이 결과를 Fubini의 정리와 결합하여

$$\int_0^\pi \dfrac{\theta D(\theta)}{4\pi}~~d\theta = \dfrac{1}{8}$$

요컨대, # 2에 대한 내 대답이 맞고, # 1을 어떻게 해결합니까?

편집하다: https://math.stackexchange.com/questions/2850414/intersection-of-random-line-segments-in-the-plane.

1 answers

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Noname 2018-07-08 18:33.

이것은 잘 알려진 Putnam 시험 문제인 1992 년의 A6의 변형입니다. 저는 당신이 한 일을 다시 확인해야 할 것입니다. 저는 제 전화를 사용하고 있습니다.하지만 한 버전은 다음과 같은 온라인 여러 곳에서 찾을 수 있습니다. https://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol926.html

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