¿Cuál es la matriz de logaritmo del operador derivado ( $\ln D$)? ¿Cuál es el papel de este operador en varios campos matemáticos?

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Anixx 2021-02-01 17:57.

Babusci y Dattoli, en el logaritmo del operador derivado , arXiv: 1105.5978 , da excelentes resultados:\begin{align*} (\ln D) 1 & {}= -\ln x -\gamma \\ (\ln D) x^n & {}= x^n (\psi (n+1)-\ln x) \\ (\ln D) \ln x & {}= -\zeta(2) -(\gamma+\ln x)\ln x. \end{align*} Me pregunto, ¿cuál es su matriz, o de lo contrario, hay algún método para aplicarla a una función?

¿Cuál es su papel intuitivo en varios campos de las matemáticas?

2 answers

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Carlo Beenakker 2021-02-01 21:23.

Tras la transformación de Fourier $x\mapsto k$, esto se convierte en un operador diagonal con elementos matriciales $\langle k|\ln D|k'\rangle=2\pi \delta(k-k')\ln k$. Entonces, para encontrar los elementos de la matriz en el$x$-representación necesitaríamos invertir la transformada de Fourier del logaritmo $\ln k$. De esta respuesta MSE para la transformada de Fourier de$\ln |k|$ (con signos de valor absoluto) Concluiría que $$\langle x|\ln D|x'\rangle=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right).$$

Esta notación significa que $\ln D$ actuando en una función $f(x)$ produce una nueva función $g(x)$ dada por $$g(x)=\int_{-\infty}^\infty \left[\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right)\right]f(x')\,dx'$$ $$=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) f(x)+\frac{1}{2}\,\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{x-x'}-\frac{1}{| x-x'| }\right)\,f(x')\,dx'.$$

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Tom Copeland 2021-02-10 11:54.

La interpretación de un $\ln(D)$ depende de la interpolación que se elija del operador derivado habitual y sus potencias enteras positivas a un operador integro-derivativo fraccional (FID), es decir, una interpretación de $D$exponenciado por cualquier número real (o número complejo a través de la continuación analítica), que a su vez, depende de las funciones sobre las que actuará el FID. La extensión descrita a continuación produce tres identidades B & D y es consistente con las propiedades que Pincherle impuso a cualquier familia legítima de FID (vea este MO-Q en una derivada 1/2 y este MO-Q en cálculo fraccional ). Puede ser definido por la acción sobre un 'conjunto básico' de funciones completas en la variable compleja$\omega$ como

$$D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} ,$$

dónde $H(x)$ es la función escalón Heaviside, y $\alpha$ y $\omega$ puede ser cualquier número complejo con la identificación habitual en la teoría de funciones generalizadas y distribuciones de

$$(-1)^n \delta^{(n)}(x) = H(x) \frac{x^{-n-1}}{(-n-1)!},$$

con $n=0,1,2,3,...$.

Tenga en cuenta que esto tiene poco que ver con una transformada de Fourier sobre la línea real o cualquier pseudo-diff op / símbolo asociado con tal. En particular,$D^{\alpha}$ aquí NO está asociado con la multiplicación por $(i 2 \pi f)^{\alpha}$en el espacio de frecuencias. En otra parte, muestro varias repeticiones convolucionales equivalentes de este FID como 1) un FT sobre un círculo a través de una transformación de una integral de contorno del complejo de Cauchy regularizada, 2) la continuación analítica de la representación integral de la función beta de Euler, ya sea a través de una explosión en el plano complejo de la integral a lo largo del segmento de línea real o regularización mediante la parte finita de Hadamard o mediante el contorno de Pochhammer, 3) la interpolación de Mellin del operador derivado estándar mediante la acción de la función generadora$e^{tD_x}$, una aplicación de operador de la fórmula maestra de Ramanujan, o 4) una interpolación de función sinc / serie cardinal de los coeficientes binomiales generalizados.

Veamos qué tan viable es la definición anterior de FID; su conexión a un generador infinitesimal (infinigen) del FID y las tres identidades B & D; una conexión con el formalismo de las secuencias polinomiales de Appell Sheffer y, por lo tanto, la teoría simétrica de polinomios / funciones; y representantes de matriz del infinigen y FID.

Si asumimos que un generador infinitesimal $IG$ existe tal que

$$ e^{\alpha \; IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} = e^{-\alpha D_{\omega}} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!},$$

luego formalmente

$$D_{\alpha} \; e^{\alpha IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} |_{\alpha =0} = IG \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \ln(D_x) \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = D_{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} |_{\alpha =0} = -D_{\omega} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [\; -\ln(x) + \psi(1+\omega) \;] H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} $$

$$ = [ \; -\ln(x) + \psi(1+xD_x) \;] \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}, $$

y el infinigen es

$$ \ln(D_x) := IG = -\ln(x) + \psi(1+xD_x),$$

dónde $\psi(x)$ es la función digamma, que se puede definir sobre el plano complejo como una función meromórfica y está íntimamente relacionada con los valores de la función zeta de Riemann en $s = 2,3,4,...$.

Algunas repeticiones (que dan las mismas identidades que en B y D) son

$$IG \; f(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-x|=|x|}\frac{-\ln(z-x)+\lambda}{z-x}f(z) \; dz$$

$$=(-\ln(x)+\lambda) \; f(x)+ \int_{0}^{x}\frac{f\left ( x\right )-f(u)}{x-u}du$$

$$ = [\; -\ln(x)+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta}\ln[\beta!]\mid _{\beta =xD} \; ] \; f(x)=[ \; -\ln(x)+\Psi(1+xD) \;] \; f(x)$$

$$ = [ \; -\ln(x)+\lambda - \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\zeta (n+1) \; (xD)^n \;] \; f(x)$$

dónde $\lambda$ está relacionado con la constante de Euler-Mascheroni a través de $\lambda=D_{\beta} \; \beta! \;|_{\beta=0}$.

Otras repeticiones y otras formas de llegar a las repeticiones anteriores se dan en las referencias a continuación.

Veamos una forma a través del formalismo de las secuencias polinomiales de Appell Sheffer, que resuelve cualquier problema de convergencia al exponenciar la fórmula explícita de diff op para el infinigen y permite conexiones a la teoría de polinomios / funciones simétricas.

La secuencia relevante de polinomios de Appell $p_n(z) = (p.(z))^n$ tiene la función de generación exponencial, completa en la variable compleja $t$, es decir, con su serie de Taylor globalmente convergente,

$$\frac{1}{t!} \; e^{zt} = e^{a.t} \; e^{zt} = e^{(a.+z)t} = e^{p.(z)t} = \sum_{n\geq 0} p_n(z) \frac{t^n}{n!}$$

con la secuencia polinomial recíproca definida de cuatro formas consistentes $\hat{p}(z)$

1) $t! \;e^{zt} = e^{\hat{a}.t} \; e^{zt} = e^{(\hat{a}.+z)t} = e^{\hat{p}.(z)t} $, un egf,

2) $M_p \cdot M_{\hat{p}} = I $, en términos de las matrices de coeficiente triangular inferior de las dos secuencias en la base de potencia monomial $z^n$ con unidad diagonal,

3) $p_n(\hat{p}.(z)) = \hat{p}_n(p.(z)) = (a. + \hat{a.}+z)^n = 1$, una inversión convolucional umbral,

4) $D_z! \; z^n = e^{\hat{a.}D_z} \; z^n = (\hat{a.}+z)^n = \hat{p}_n(z)$, un generador operativo.

De ello se deduce que la elevación op de los polinomios de Appell $p_n(z)$ definido por

$$R_z \; p_n(z) = p_{n+1}(z)$$

es dado por

$$ R_z \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; p_n(\hat{p}.(z))$$

$$ = \frac{1}{D_z!} \; z \; z^n = \frac{1}{D_z!} \; z^{n+1} = p_{n+1}(z),$$

una conjugación de operador, o 'transformación de calibre', del operador de elevación $z$ para los monomios de poder.

Además, con el conmutador del operador $[A,B] = AB - BA$,

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! .$$

Ahora vuelva a ingresar Pincherle y el operador derivado del mismo nombre, que Rota promocionó para el cálculo del operador finito. El derivado de Graves-Pincherle deriva su poder del conmutador Graves-Lie-Heisenberg-Weyl$[D_z,z] = 1$ de lo cual, por reordenamiento normal, implica para cualquier función expresada como una serie de potencias en $D_z$

$$[f(D_z),z] = f'(D_z) = D_t \; f(t) \; |_{t = D_z}.$$

Este es un avatar de la derivada de Pincherle (PD) que se sigue de la acción $$[D^n,z] \; \frac{z^{\omega}}{\omega!} = [\;\frac{\omega+1}{(\omega+1-n)!} - \frac{1}{(\omega-n)!}\;] \; z^{\omega+1-n} = n \; D_z^{n-1} \; \frac{z^{\omega}}{\omega!},$$

pero el PD es válido para operaciones más generales de bajada y subida (escalera) que satisfacen $[L,R]= 1$.

Luego

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! = z + D_{t = D_z}\; \ln[\frac{1}{t!}] $$

$$ = z - \psi(1+D_z).$$

Con la sustitucion $ z = \ln(x)$

$$R_z = R_x = \ln(x) - \psi(1+ x D_x) = -IG = -\ln(D_x).$$

La operación de levantamiento se define de tal manera que

$$ e^{t \; R_z} \; 1 = \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} R_z^n \; 1 = e^{tp.(z)} = \frac{1}{t!} \; e^{zt},$$

una función completa para $t$complejo; por lo tanto,

$$e^{-t \; IG} \;1 = e^{t \;R_x} \; 1 = e^{t \; p.(\ln(x))} = \frac{x^t}{t!},$$

entonces

$$e^{-(\alpha+\beta) \; IG} \;1 = e^{(\alpha+\beta) \; R_x} \; 1 = e^{(\alpha+\beta) \; p.(\ln(x))} = \frac{x^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)!}, $$

$$ = e^{-\alpha \; IG} e^{-\beta \; IG} \;1 = e^{-\alpha \; IG} \; \frac{x^\beta}{\beta!} , $$

y podemos identificar que de hecho

$$e^{-\alpha \; IG} = D_x^{-\alpha}$$

y

$$IG = \ln(D_x).$$

Now apply the PD to $\ln(D)$, as a check of the formalism and an avenue to a matrix rep, giving formally

$$ [\ln(D),x] = [\ln(1-(1-D)),x] = \frac{1}{1-(1-D)} = \frac{1}{D} = D^{-1}.$$

This is given an explicit meaning by evaluating the commutator for a general function $g(x)$ analytic at the origin (which generalizes to our 'basis' set) using the integral rep for $R_x = -\ln(D_x)$, giving

$$[\ln(D_x),x] \; g(x) = [-R_x,x] \; g(x) = (-\ln(x)+\lambda) \; [x,g(x)]$$

$$ + \int_{0}^{x}\frac{xg(x)-ug(u)}{x-u} \; du - x \int_{0}^{x}\frac{g(x)-g(u)}{x-u} \; du$$

$$ = \int_{0}^{x} \; g(u) \; du = D_x^{-1} g(x).$$

So, we have

$$[\ln(D_x),x] = [-R_x,x] = D_x^{-1} = [-\ln([-R_x,x]),x]$$

and

$$-R_x = \ln(D_x) = -\ln(D_x^{-1}) = -\ln([-R_x,x]),$$

implying

$$e^{R_x} =\exp[\ln([-R_x,x])] = [-R_x,x] = D_x^{-1}.$$

In addition, with

$$\bigtriangledown^{s}_{n} \; c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{s}{n}c_n,$$

then

$$R_x = -\ln(D_x) = \ln(D_x^{-1}) = \ln[1-(1-D_x^{-1})]$$

$$ = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k}, $$

where

$$D_x^{-1} \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{x^{\omega+1}}{(\omega+1)!}.$$

The finite difference op series is embedded in the derivative $D_{\alpha =0}$ of the Newton interpolator

$$ \frac{x^{\alpha+\omega}}{(\alpha+\omega)!} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k}\frac{x^{\omega+k}}{(\omega+k)!}$$

$$ = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [1-(1-D_x^{-1})]^{\alpha} \; \;\frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{-\alpha}\;\frac{x^{\omega}}{\omega!}. $$

For $\alpha = -m$ with $m = 1,2,...$ and $\omega = 0$, this Newton interpolator gives

$$D^m_x \; H(x) = \delta^{(m-1)}(x) = H(x) \; \frac{x^{-m}}{(-m)!} = \bigtriangledown^{-m}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \; H(x)$$

$$ = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \bigtriangledown^{n}_{k} \; H(x) \frac{x^k}{k!} = H(x) \; \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \; L_n(x)$$

$$ = H(x) \; \sum_{n \geq 0} \binom{m-1+n}{n} \; L_n(x), $$

which agrees in a distributional sense with the Laguerre polynomial resolutions of $f(x) = \delta^{(m-1)}(x)$ in the formulas of this MO-Q since, with $c_n = f_n$ in the notation there,

$$ f(x) = \sum_{n \geq 0} c_n \; L_n(x)$$

with

$$\sum_{n \geq 0} t^n \; c_n = \frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} e^{-x} \sum_{n \geq 0} t^n \; L_n(x) f(x) \; dx$$

$$ = \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx,$$

so, for the $m$-th derivative of the Heaviside function,

$$\frac{1}{1-c_{m,.}t}= \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \delta^{(m-1)}(x) \; dx = \frac{1}{(1-t)^{m}},$$

and, therefore, the coefficients of the Laguerre series resolution of the $m$-th derivative of the Heaviside function are

$$c_{m,n} =(-1)^n \binom{-m}{n} = \binom{m-1+n}{n},$$

in agreement with the Newton interpolator.

Applying $D_x^{-1}$ iteratively to both sides of this identity establishes convergent interpolations for $\omega = 1,2,3,...$, and acting on the power basis within the binomial expansion of $\frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{(1-(1-x))^{\omega}}{\omega!}$ should give convergent expressions as well.

Similarly for $\omega=0$, we have the Laplace transform (or more accurately, the modified Mellin transform central to Ramanujan's master formula via which the FIDs may be cast as Mellin interpolations of the standard derivatives),

$$\frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} \; dx = (1-t)^{\alpha},$$

for $Re(\alpha) > -1$, giving

$$c_n = (-1)^n \binom{\alpha}{n}.$$

This Laplace transform and, therefore, the Newton interpolator can be analytically continued in several standard ways (e.g., blow-up from the real line to the complex plane via a Hankel contour, Hadamard finite part) to the full complex plane for $\alpha$. For the negative integer exponents, the Hankel contour contracts to the usual Cauchy contour rep for differentiation. The Hadamard-finite-part approach allows the Newton interpolator to be appropriately modified strip by strip to give the intended results.

Returning to the finite difference rep for $\ln(D_x)$, action of the infinigen on 1 then gives, for $x > 0$,

$$\ln(D_x) 1 = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} 1$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} \frac{x^k}{k!}$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; L_n(x) = -\ln(x)-.57721... , $$

where $L_n(x)$ are the Laguerre polynomials, in agreement with the first equation of B & D in the question.

Plots of the results of evaluation of the operator series truncated at $n=80$, or so, acting on $x^2$ and $x^3$ match the analytic results as well.

The matrix rep $M$ of the action of this integration op $D_x^{-1}$ on $x^n$ is simple enough in the power basis--a matrix with all zeros except for the first subdiagonal, or superdiagonal, depending on left or right matrix multiplication, with elements $(1,1/2,1/3,...)$.

The matrix rep for $R_x$ is then

$$ R_M = \ln[I-(I-M)] = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} M^k. $$

Exponentiating,

$$D_x^{-\beta} = \exp(-\beta R_x)= (1-(1-D_x^{-1} ) )^{\beta} = \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} (D_x^{-1})^k.$$

The associated matrix rep is

$$ \exp(-\beta R_M)= \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} M^k.$$

(I haven't checked these matrix computations numerically as I normally would since my MathCad disc is in storage in another state.)

To act on non-integer powers of $x$, you must represent them as superpositions of the integer power basis as in the binomial expansion

$$x^{\alpha} = [1 - (1-x)]^{\alpha} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} x^k .$$

Alternatively, return to the $z$ rep and write down the matrix rep of the raising op $R_z$. This is a simple transformation of the infinite lower triangular Pascal matrix augmented with a first superdiagonal of all ones. OEIS A039683 has an example of the matrix equivalent of a raising op in the monomial power basis, also known as a production matrix in another approach (Riordan?) to polynomial sequences. Better in this case to switch to the divided power basis $z^n/n!$. Then the augmented Pascal matrix becomes the simple summation matrix of all ones. Multiply along the n-th diagonal by $c_n$ where $(c_0,c_1,..) = (1-\lambda,-\zeta(2),...,(-1)^k \; \zeta(k+1),...)$ to generate the matrix rep for the raising op, but since, e.g., $x^2=e^{2z}$, this quickly becomes a messy algorithm to apply compared to the finite difference rep.


Further references (not exhaustive):

  1. Riemann zeta and fractional calculus, an MO-Q
  2. Digamma / Psi function, Wiki
  3. OEIS A238363 on log of the derivative operator
  4. OEIS A036039 on the cycle index polynomials and symmetric functions
  5. Zeta functions and the cycle index polynomials, an MO-Q
  6. On the raising op for FIDs, an MSE-Q
  7. OEIS A132440 on a matrix infinigen
  8. OEIS A263634 on partition polynomial reps for Appell raising ops
  9. Ref for another interp of a log of a derivative, a pdf
  10. Interpolation/analytic continuation of the factorials to the gamma fct, MSE-Q
  11. Raising ops for Appell sequences, a blog post
  12. Example of Mellin interpolation of $e^{tD}$, MO-Q
  13. More on interpolation/analytic continuation of differential ops, a blog post
  14. Two analytic continuations of the coefficients of a generating function, MO-Q
  15. FIDs and confluent hypergeometric functions, an MO-Q
  16. Note on the Pincherle derivative, a blog post
  17. FIDs and interpolation of binomial coefficients, a blog post
  18. FIDs, interpolation, and travelling waves, a blog post

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